数据结构——树的概念、二叉树的概念

引言

现在是北京时间的2023年6月7号15点28分，刚考完了一课期末考试，回到宿舍就立马准备发布这篇博客。距离完成本周复习指标还差两篇博客。加油！

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。树大致可以分成两个部分构成，即根和子树。根节点就是树最特殊的节点，它没有前驱结点。除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。因此树是可以递归定义的。

注意： 子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，就变成图形结构了。

1.1.树的其他相关概念

节点的度： 个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点： 度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点（重要）： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点（重要）： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6。大家常听见的二叉树也就是度为2的树
节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度（重要）： 树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先（了解）： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙（了解）： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林： 由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；比如并查集这种数据结构就是由森林构成。

2.树的代码实现的结构

前面已经介绍了树的基本概念，下面我们来看看树要怎么用代码来实现呢？

//这样结构定义树可以吗？
struct TreeNode
{
    
    
	struct TreeNode* child1;
	struct TreeNode* child2;
	struct TreeNode* child3;
	//...
	int data;
};

答案是不行的，因为它没有用树的度来明确规定最多应该定义几个孩子。所以这样的结构是错误的。下面我在给大家看一个结构。假设树的度为N，且看下面的代码。

#define N 5
//假设N为5
struct TreeNode
{
    
    
	struct TreeNode* ChildrenArr[N];
	int data;
};

下面介绍一种很牛的表示结构，左兄弟右孩子表示法。即用该树结点只有两个指向，分别指向第一个孩子和下一个兄弟结点。这种表示法可以构造出所有的树形结构。

typedef int DataType;
struct TreeNode
{
    
    
	struct TreeNode* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct TreeNode* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

这种表示方法可以节省存储空间，同时也提高了树形结构的遍历效率，因为可以直接定位到每个节点的左孩子和右兄弟。

2.1.树形结构的应用

通常操作系统的磁盘文件结构就是一个经典的树形结构。这里我以Linux系统为例。

为什么要用树形的结构来当磁盘文件的系统呢?Linux系统的磁盘文件结构采用树形结构，为用户提供了清晰、简单、方便、高效的文件管理方式。

3.二叉树的概念

二叉树其实就是度为二的树。通常有以下几种情况构成。

二叉树度为0的结点永远比度为2的多一个。下面我就简单举两个简单场景来验证这一结论。

3.1.特殊二叉树的概念

3.1.1.完全二叉树

对于一棵深度为k的二叉树，若它的所有节点都在第1到第k层，且所有叶子结点都在第k层或者第k-1层且在第k层的顺序必须从左到右连续，那么这棵二叉树就是一棵完全二叉树。满二叉树是特殊的完全二叉树。

那么高度为h的完全二叉树要怎么求出结点个数范围呢？

同理反推可得，完全二叉树的高度范围log以2为底的（Sn）的对数+1 或者 log以二为底的（Sn+1）的对数。

3.1.2.满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为h，且结点总数是2的h次方-1，则它就是满二叉树。

为什么满二叉树的结点总数是2的h次方－1呢？下面且看我的分析。

可以看到其实满二叉树的总结点是一个等差公式，当然其实直接记结论是满二叉树的总结点个数为2的h次方-1就好。同理反推可得满二叉树的高度等于 h = log以二为底的（Sn+1）的对数。

3.2.二叉树试题讲解

3.2.1.试题一

本题主要考核的是对于二叉树的基本性质的了解，即二叉树中度为0的结点个数永远比度为2的结点个数多一个，本题选B。

3.2.2.试题二

本题其实关键为完全二叉树。这里就得根据完全二叉树度为1 的结点只有可能是1个或者0个，再根据这一条件在加上二叉树度为0永远比度为2的多一个结点。可以推断出度为1的结点为1个，即叶子结点n0=2n / 2 = n。本题选A。

3.2.3.试题三

本题依旧是考验对完全二叉树概念的了解的。首先我们需要知道完全二叉树的结点为：Sn=n0+n0-1+n1。根据Sn=767，又因为n0和n1必须是整数，所以n1 = 0。故2n0 = 768，n0等于384。本题选B。

4.二叉树的存储结构

二叉树的存储结构分为两种，链式结构二叉树和顺序结构二叉树。其底层实现对应的是链表和顺序表。

4.1.顺序结构存储

顺序结构二叉树其实就是用数组来进行对数据的管理。一般只适合完全二叉树使用，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆后面我会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。


用数组的方式存储二叉树是带有局限性性的，因为只适合完全二叉树的存储。

4.2.链式结构存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前学习的是二叉链，大名鼎鼎的红黑树用到的就是三叉链。