4.二叉树的概念及结构

5.满二叉树与完全二叉树

6.二叉树的性质

7.二叉树的存储结构

二叉树概念::

1.树的概念及结构

树的概念：

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限节点组成一个具有有限关系的集合。把它叫做树，是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是它是根朝上，而叶朝下的。

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1.有一个特殊的节点，称为根节点，根结点没有前驱节点
2.除根节点外，其余部分被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2...Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一颗结构与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，因此树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

树的相关概念：

1.节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度，如上图：A的度为6
2.叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点，如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
3.非终端节点或分支节点：度不为0的节点，如上图D、E、F、G...等节点为分支节点
4.双亲节点：若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点,如上图：A是B的父节点
5.孩子节点：一个节点含有了子树的根节点称为该节点的子节点，如上图：B是A的孩子节点
6.兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点，如上图：B是A的孩子节点
7.树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度，如上图：树的度为6
8.节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推
9.树的高度或深度：树中节点的最大层次，如上图，树的高度为4
10.堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟，如上图：H、I互为堂兄弟节点
11.节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点，如上图：A是所有节点的祖先
12.子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙，如上图：所有节点都是A的子孙
13.森林：由m(m>0)颗互不相交的树的集合称为森林，如并查集就是树的森林

树的表示：

//静态顺序表存储孩子节点指针
//明确告诉树的度为N
#define N 5
struct TreeNode
{
	int da/ta;
	struct TreeNode* childArr[N];
	int childSize;
};
//动态顺序表存储孩子节点指针 不用定义宏
struct TreeNode
{
	int data;
	struct TreeNode** childArr;
	int childSize;
	int childCapacity;
};

树结构相对于线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存节点和节点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

//左孩子右兄弟表示法
//父亲指向左边第一个孩子 孩子之间用兄弟指针链接起来
typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* firstChild1;//左边第一个孩子节点
	struct Node* pNextBrother;//指向下一个兄弟节点
	DataType data;
};

双亲表示法：
存储父亲的下标，它的优势是方便找任何一个节点的祖先，并查集就是用此种数据结构

树在实际中的应用：(表示文件系统的目录树结构)

2.二叉树概念及结构

概念：

一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

1.或者为空

2.由一个根节点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
1.二叉树不存在度大于2的节点
2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树：
1.满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树，也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^K - 1，则它就是满二叉树.
2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是满二叉树而引出来的，对于深度为K的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时称之为完全二叉树，要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
注：完全二叉树前k-1层都是满的，最后一层满或不满，但要求从左向右是连续的
完全二叉树k层节点数量范围[2^(k-1),2^k-1](最后一层最少是一个，最多是满)

二叉树的性质：

1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有2^(i-1)个结点.

2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是2^h-1.

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为 n0 , 度为 2 的分支结点个数为n2 , 则有

n0＝n2 ＋ 1.

4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， h=log(n+1)

. (ps ：log(n+1)是log 以 2 为底，n+1 为对数 ).

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

1. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点

2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子

3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
答案：
1.B
2.A
3.A
4.B
5.B

3.二叉树的存储结构

二叉树的存储结构：

二叉树一般可以使用两种结构存储：一种顺序结构，一种链式结构。

1.顺序存储：

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空

间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。 二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储：

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是

链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所

在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程

学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
 struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

[数据结构]二叉树概念

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3.二叉树的存储结构

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