学习来源：《矩阵分析与应用》张贤达清华大学出版社

矩阵分析与应用学习小结

一、向量的范数

1. 定义

向量的范数是用来刻画向量大小的一种度量。设映射 $\left \| \cdot \right \|:C^n\rightarrow R$ 满足：

① 非负性： $\left \| x \right \|\geqslant 0$ ，当且仅当 $x=0$ 时， $\left \| x \right \|=0$ ；

则称映射 $\left \| \cdot \right \|$ 为 $C^n$ 上向量 $x$ 的范数。

2. 向量的 1 范数

向量的 1 范数是指向量中所有元素的绝对值之和，用公式表示为

$\left \| x \right \|_1=\sum_{i=1}^{n}\left | x_i \right |$

其中 $x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$

例： $a=[1,-3,4,7]$

3.向量的 2 范数

向量的 2 范数又称欧几里得范数，表示通常意义上的模，用公式表示为

$\left \| x \right \|_2=\left ( \sum_{i=1}^{n}\left | a \right |^2 \right )^{\frac{1}{2}}$

其中， $x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n]$ 。

例： $b=[1+i,4i,2\sqrt{2}-i,-2\sqrt{2}]$

$\left \| b \right \|_2=\left ( \left | 1+i \right |^2+\left | 4i \right |^2+\left | 2\sqrt{2}-i \right |^2+\left | -2\sqrt{2} \right |^2 \right )=\sqrt{35}$

二、矩阵的范数

1. 定义

由于一个 $m\times n$ 矩阵可以看做 $mn$ 维向量，因此可以按照定义向量范数的方式定义矩阵范数。

设 $C^{n\times n}$ 表示复数域 $C$ 上全体 $n\times n$ 矩阵构成的线性空间，设函数 $\left \| \cdot \right \|:C^{n\times n}\rightarrow R$ 满足：

① 非负性： $\left \| A \right \|\geqslant 0$ ，当且仅当 $A=0$ 时， $\left \| A \right \|=0$ ；

则称 $\left \| \cdot \right \|$ 为矩阵 $A$ 的范数。

2. 矩阵的 1 范数

矩阵的 1 范数是矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取最大值（列和最大）。用公式表示为：

$\left \| A \right \|_1=\underset{j}{max}\sum_{i=1}^{n}\left | a_{ij} \right |$

其中， $A=(a_{ij})_{n\times n}\in C^{n\times n}$ 。

3. 矩阵的 2 范数

矩阵的 2 范数是矩阵 $A^HA$ 的最大特征值开平方，用公式表示为：

$\left \| A \right \|_2=\sqrt{\lambda_1}$

其中， $A=(a_{ij})_{n\times n}\in C^{n\times n}$ ， $\lambda_1$ 为 $A^HA$ 的最大特征值。

4. 矩阵的 F 范数

矩阵的 F 范数是矩阵的所有元素的平方和开根号，用公式表示为：

$\left \| A \right \|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left | a_ij \right |^2}$

其中， $A=(a_{ij})_{n\times n}\in C^{n\times n}$ 。

5. 矩阵的无穷范数

矩阵的无穷范数是矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取最大值（行和最大）。用公式表示为：

$\left \| A \right \|_\infty =\underset{i}{max}\sum_{j=1}^{n}\left | a_{ij} \right |$

其中， $A=(a_{ij})_{n\times n}\in C^{n\times n}$ 。

6. 例

1）矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 3& -2\\ 0 & 2 &2 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

$\left \| A \right \|_1=max\left \{ 1+1,3+2+(-1),(-2)+2 \right \}=max\left \{ 2,4,0 \right \}=4$

$\left \| A \right \|_F=\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2+2^2+2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

$\left \| A \right \|_\infty =max\left \{ 1+3+(-2),2+2,1+(-1) \right \}=max\left \{ 2,4,0 \right \}=4$

2）矩阵 $B=\begin{bmatrix} 0 & 1& 0\\ 1& 0 &0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\left \| A \right \|_2=\sqrt{max\left \{ 0,1,2 \right \}}=\sqrt{2}$

矩阵分析与应用(22)

矩阵分析与应用学习小结

一、向量的范数

1. 定义

2. 向量的 1 范数

3.向量的 2 范数

二、矩阵的范数

1. 定义

2. 矩阵的 1 范数

3. 矩阵的 2 范数

4. 矩阵的 F 范数

5. 矩阵的无穷范数

6. 例

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