矩阵分析 (五) 矩阵的分解

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矩阵的对角分解

• 定理5.1 $A$为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵 $Q$,使得：

$Q^{H}AQ= \Lambda ，\Lambda =diag(\lambda_{1}，\lambda_{2}，\cdot，\lambda_{n})$

• 例1 设 $A$是 $n$阶正规矩阵，其特征值 $\lambda_{1}$， $\lambda_{2}$， $\cdots$， $\lambda_{n}$，则：

1. $A$是厄米特矩阵的充要条件是： $A$的特征值全是实数；
2. $A$是反厄米特矩阵的充要条件是： $A$的特征值为零或纯虚数；
3. $A$是酉矩阵的充要条件是： $A$的每个特征值 $\lambda_{i}$的模 $|\lambda_{i}|=1$。

矩阵的三角分解

• 定义5.1：设 $A \in C^{n \times n}$，如果存在下三角矩阵 $L \in C^{n \times n}$和上三角矩阵 $R \in C^{n \times n}$，使得 $A =LR$，则称 $A$可以作三角分解。
• 定理5.2：设可逆矩阵 $A \in C^{n \times n}$，则 $A$可以作三角分解的充要条件是 $A$的所有顺序主子式不为零。
• 定义5.2：设 $A \in C^{n \times n}$，

  如果 $A$可以分解为 $A =LR$，其中 $L$是对角线元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵）， $R$为上三角矩阵，则称之为 $A$的Doolittle分解。

  如果 $A$可以分解成 $A=LR$， $R$是对角线元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵)，则称之为 $A$的Crout分解。

  如果 $A$可以分解成 $A=LDR$，其中 $L，D，R$分别是单位下三角矩阵、对角矩阵、单位上三角矩阵，则称之为 $A$的LDR分解。

• 如果 $A \in C^{n \times n}$是正定的厄米特矩阵，则存在下三角矩阵 $G$使得 $A=GG^{H}$，称之为 $A$的Cholesky分解。

矩阵的满秩分解

  这一节讨论一种将矩阵分解为列满秩与行满秩矩阵的乘积。

• 定义5.3：设 $A \in C^{n \times n}$，如果存在 $F \in C^{n \times r}_{r}$， $G \in C^{r \times n}_{r}$，使得 $A=FG$，则称为矩阵 $A$的满秩分解。
• 定理5.3：设 $A \in C^{n \times n}$，则 $A$满秩分解总是存在的。

舒尔定理与矩阵的QR分解

  舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理的出发点。而矩阵的 $QR$分解在数值化代数中起着重要的作用，是计算矩阵特征值以及求解线性方程组的重要工具。

• 定理5.4：(舒尔定理)若 $A \in C^{n \times n}$，则存在酉矩阵 $U$，使得：

$U^{H}AU=T$

  这里 $T$是上三角矩阵， $T$的对角线上的元素都是 $A$的特征值。

• 定理5.5：(QR分解定理)设 $A$为 $n$阶复矩阵，则存在酉矩阵 $Q$及上三角矩阵 $R$，使得：

$A=QR$