【国科大——矩阵分析与应用】LU分解

LU分解

LU分解是旨在将某个矩阵表示为两个或多个矩阵的乘积。

LU分解是将矩阵表示为$A$=$L$ $U$，其中 $L$ 矩阵 代表Lower Triangular（下三角矩阵），$U$ 矩阵 代表Upper Triangular（上三角矩阵）。形象一点就相当于写为$A=◣\ast ◥$。

LU分解步骤

1. 求解U矩阵

先求U矩阵，再求L矩阵。

若$AX=b$是一个非奇异系统，那么高斯消元法将A化简为一个上三角矩阵。

例如：$Ax=b$
$$A=\left[\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 10& -8& -9\\ 15& 1& 2\end{array}\right]$$
经过高斯消元得到
$$\left[\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 10& -8& -9\\ 15& 1& 2\end{array}\right](R_2+2R_1,R_3+3R_1)\to \left[\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 0& -2& -1\\ 0& 10& 14\end{array}\right](R_3+5R_2)\to \left[\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 0& -2& -1\\ 0& 0& 9\end{array}\right]$$
所以，$U=\left[\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 0& -2& -1\\ 0& 0& 9\end{array}\right]$

2. 求解L矩阵

L矩阵的下三角位置为，进行U分解时，消去某位置所乘系数的 相反数。
$$L=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -3& -5& 1\end{array}\right]$$
$-2和-3分别为(R_2+2R_1,R_3+3R_1)中2和3的相反数。$
$-5为(R_3+5R_2)中5的相反数。$

3. 验证

$$A=LU=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -3& -5& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 0& -2& -1\\ 0& 0& 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 10& -8& -9\\ 15& 1& 2\end{array}\right]$$

4. 用途

$Ax=b可以写成L(Ux)=b和Ux=y$，即先求解$L(y)=b$得到$y$，再求解 $(Ux)=y$得到$x$，因为矩阵$L$和$U$都是三角矩阵，所以求解上述两个方程比直接求解$Ax=b$要简单。

$L(y)=b$
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 24\\ 12\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 0\\ -24\end{array}\right]$$

$(Ux)=y$
$$\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 0& 3& 3\\ 0& 0& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 0\\ -24\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 6\\ -6\end{array}\right]$$

部分主元法

部分主元消去法多了一个把最大的值调到主元位置的操作，可以提高计算精度。一般需要使用关联系数矩阵，$PA=LU$。

例如：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -4\\ 4& 8& 12& -8\\ 2& 3& 2& 1\\ -3& -1& 1& -4\end{array}\right]$$

1. 加关联矩阵，找主元

进行行初等变换，找主元。
$$\left[\begin{array}{c}A|p\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -4\\ 4& 8& 12& -8\\ 2& 3& 2& 1\\ -3& -1& 1& -4\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}4& 8& 12& -8\\ 1& 2& -3& -4\\ 2& 3& 2& 1\\ -3& -1& 1& -4\end{array}& \begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\\ 4\end{array}\end{array}\right]$$

2. 进行LU分解

强烈建议：每次进行初等行变换时，将系数的相反数提前写出，因为会受到初等行变换（交换两行）的影响。
$$\left[\begin{array}{c}A|p\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -4\\ 4& 8& 12& -8\\ 2& 3& 2& 1\\ -3& -1& 1& -4\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}4& 8& 12& -8\\ 1& 2& -3& -4\\ 2& 3& 2& 1\\ -3& -1& 1& -4\end{array}& \begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\\ 4\end{array}\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}4& 8& 12& -8\\ \frac{1}{4}& 0& -6& -6\\ \frac{1}{2}& -1& -4& 5\\ \frac{-3}{4}& 5& 10& -10\end{array}& \begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\\ 4\end{array}\end{array}\right]$$

3. 计算$Ax=b$

$Ax=b可以写成L(Ux)=b和Ux=y$，通过先求$y$，再求$x$。