习题8.8
题目要求：
In the Exact 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a dijunction of exactly foour literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that Exact 4SAT is NP-complete.
答：SAT->4SAT
设SAT：a1 ∨ a2 ∨ a3 ∨ a4 ∨ a5 ∨ … ∨ an
则该SAT可变为4SAT：（a1 ∨ a2 ∨ a3 ∨ x1） ^ (~x1 ∨ a4 ∨ a5 ∨ x2) ^ … ^ (~x( (n-6)/2 ) ∨ a(n-4) ∨ a (n-3) ∨ x( (n-4)/2 ) ) ^ (~x( (n-4)/2 ) ∨ a(n-2) ∨ a(n-1) ∨ an)。
- 当存在一个真值指派使得该4SAT为真时，也存在一个真值指派使得SAT为真。假设所有ai均为假，1 <= i <= n，则x1，x2，…，x( (n-4)/2 )和~x( (n-4)/2 )必为真。但是所以x( (n-4)/2 )和~x( (n-4)/2 )不可能同时为真，所以至少有一个ai为真，此时SAT为真。所以，当存在一个真值指派使得该4SAT为真时，SAT也为真。
- 当不存在一个真值指派使得该SAT为真时，也不存在一个真值指派使得该4SAT为真。要证明这个命题，我们可以证明它的逆否命题：存在一个真值指派使得该4SAT为真时，也存在一个真值指派使得该SAT为真。这个命题就是我们证明的第一个命题，所以它的逆否命题也为真，即：当不存在一个真值指派使得该SAT为真时，也不存在一个真值指派使得该4SAT为真。
- 这种转换的时间复杂度为O(n)，是线性的。
综上所述， Exact 4SAT* 问题也是NP-complete。