最大熵模型（二）

最大熵模型 - 最大熵模型的学习

对于给定的训练数据集$T=\{(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\cdot\cdot\cdot,(x_{N},y_{N})\}$以及特征函数${f_{i}(x,y)}$，最大熵模型的学习等价于约束最优化问题：

$$\begin{align*} \max_{p \in C} \quad H(p)\quad\quad&=-\sum_{x,y}\widetilde{p}(x)p(y|x)logp(y|x) \\ s.t. \quad E_{p}(f_{i})\quad\quad&=E_{\widetilde{p}}(f_{i}) \\ \sum_{y}p(y|x)&=1 \end{align*}$$
将求最大值改为等价求最小值问题：
$$\begin{align*} \min_{p \in C} \quad -H(p)\quad\quad&=sum_{x,y}\widetilde{p}(x)p(y|x)logp(y|x) \\ s.t. \quad E_{p}(f_{i})\quad\quad&=E_{\widetilde{p}}(f_{i}) \\ \sum_{y}p(y|x)&=1 \end{align*}$$
引进拉格朗日乘子 $w_0,w_1,\cdot\cdot\cdot,w_N$，定义拉格朗日函数：
$$\begin{align*} L(P,w) &= -H(p) + w_0(1-\sum_{y}p(y|x)) + \sum_{i=1}^{n}w_i(E_{\widetilde{p}}(f_{i})-E_{p}(f_{i})) \\ &= \sum_{x,y}\widetilde{p}(x)p(y|x)logp(y|x) + w_0(1-\sum_{y}p(y|x)) + \sum_{i=1}^{n}w_i(\sum_{x,y}\widetilde{p}(x,y)f_i(x,y)-\sum_{x,y}\widetilde{p}(x)p(y|x)f_i(x,y)) \end{align*}$$
最优化问题的原始问题是：
$$\min_{P \in C}\max_{w}L(P,w)$$
对偶问题为：
$$\max_{w}\min_{P \in C}L(P,w)$$
因为拉格朗日函数 $L(P,w)$是 $P$的凸函数，原始问题与对偶问题的解是等价的。
首先计算内部计算极小值，拉个朗日函数 $L(P,w)$对 $P(Y|X)$的偏倒数：
$$\begin{align*} \frac{\partial L(P,w)}{\partial P} &= \sum_{x,y}\widetilde{p}(x)(1+logp(y|x)) - w_0 - \sum_{i=1}^{n}w_i(\sum_{x,y}\widetilde{p}(x)f_i(x,y)) \\ &= \sum_{x,y}\widetilde{p}(x)(1+logp(y|x)) -\sum_{x,y}\widetilde{p}(x) w_0 - \sum_{x,y}\widetilde{p}(x)(\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y)) \\ &= \sum_{x,y}\widetilde{p}(x)(1+logp(y|x)-w_0 - \sum_{i=1}^{N}w_if_i(x,y)) \end{align*}$$
注：$w_0=w_0 \times 1 = w_0 \sum_{x}\widetilde{p}(x)= \sum_{x,y}\widetilde{p}(x) w_0$
令偏导数为0，在 $\widetilde{p}(x) \gt 0$的情况下，有：
$$p(y|x) = exp(\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y) + w_0 -1)=\frac{exp(\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y))}{exp(1-w_0)}$$
由于 $\sum_{y}p(y|x)=1$，得：
于 $$\sum_{y}\frac{exp(\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y))}{exp(1-w_0)}=1$$
则:
$$exp(1-w_{0}) = \sum_{y}exp(\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y))$$
内部极大值得解为：
$$P_{w}(y|x) =\frac{1}{Z_{w}}exp(\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y)))$$
其中：
$$Z_{w}(x)=\sum_{y}exp(\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y))$$
$Z_{w}(x)$称为规范化因子； $f_i(x,y)$为特征值函数； $w_{i}$为特征权值； $P_{w}(y|x)$为最大熵模型。之后再求解外部极大值，用 $w^*$表示其解，即：
$$w^* = arg\max_w\Psi(w)$$