Fredholm第二类积分方程的MATLAB代码实现（1）

这是《The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind》书上的例题代码实现，基于MATLAB来编写的，对应于这一篇的Python代码点击打开链接

本代码主要实现Fredholm integral equations of the second kind,方程如下：
lamda*x(t)-integrate(K(t,s)*x(s))ds=y(t),a=0<=t<=b,K(t,s)取exp(s*t)
首先，我们给定两个精确解exp(-t)cos(t)和sqrt(t)，求出其对应的y(t)，然后再来反解x(t).更详细说明可

参见《The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind》P30-34.

首先定义各种函数，保存为.m文件

第一步：定义核函数

function k=func_k(s,t)
k=exp(s*t); %k的表达式

第二步：定义给定的精确解x

function x=func_x(t)
x=exp(-t)*cos(t); %x的表达式

第三步：用精确解求出y

function y=func_y(x,k,a,b,lamda)
syms t s;
y=subs(lamda*x-int(x*k,t,a,b),t,s); % 用符号积分求出y的表达式，并统一y中的变量为s

第四步：求方程组的右端项（相当于Ax=b中的b）

function f=func_f(y,a,b,lamda,n)
syms s;
f=ones(n,1);
for i=1:n
    f(i)=int(y*s^(i-1),s,a,b); %这里用符号积分求y*s^(i-1)
end

第五步：求系数c

function c=solve_c(f,a,b,lamda,n) %
B=ones(n,n); %用于存放系数矩阵
for i=1:n
    for j=1:n
        B(i,j)=-b^(i+j-1)/(factorial(j-1)*(i+j-1));
    end
    B(i,i)=lamda+B(i,i);
end
c=B\f; %求c,其为一个n维的向量
end

第六步：求xn

function xn=solve_xn(y,c,a,b,lamda,n)
syms t;
m=0;
for i=0:n-1
    m=m+c(i+1)*t^i/factorial(i);
end
xn=(y+m)/lamda;

第七步：求无穷范数

function E=err(x,xn,a,b)
syms s t;
tt=a:0.1:b;
E=vpa(norm(subs(subs(x-xn,s,t),t,tt),Inf),20); %取区间[a,b]中的离散点，求无穷范数

以上是定义好的函数，接下来再写一个主函数文件，然后运行此文件即可。以上的核函数，x函数等可以改成自己想要的！！！

clear
n=input('please input n:')
a=input('please input a:')
b=input('please input b:')
lamda=input('please input lamda:')
e=ones(n,1); %用来存误差
syms s t;
for i=1:n
    k=func_k(s,t);
    x=func_x(t);
    y=func_y(x,k,a,b,lamda);
    f=func_f(y,a,b,lamda,i);
    c=solve_c(f,a,b,lamda,i);
    xn=solve_xn(y,c,a,b,lamda,i);
    e(i)=err(x,xn,a,b);
end
e
if n==10
    figure(1)
    tt=a:0.1:b;
    plot(tt,vpa(subs(subs(x-xn,s,t),t,tt),20),'r--')
    xlabel('t'), ylabel('error')
    title('error,n=10,a=0,b=1,lamda=5')
end

运行结果我就不放上来了，因为这台电脑没有按MATLAB，o(╥﹏╥)o

Fredholm第二类积分方程的MATLAB代码实现（1）

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