Ripser.py学习 (1)：概述

1 概述

Ripser.py是一个用于持续同伦 (Persistent homology) 的Python库，其在C++ Ripser的基础上构建，提供了一些诸如以下的强大接口：

1. 计算稀疏或者稠密数据的持续同伦。持续同伦是一种在拓扑数据分析中用来识别拓扑结构的方法。它可以用来分析一组数据的拓扑性质，通过检测数据的局部和全局的拓扑结构，可以提供对数据集的更深入的理解。在持续同伦的过程中，拓扑结构被表示为一系列的持久性特征，其中包括持续性间隙、持续性循环等。而拓扑结构的持续同伦则是指，在拓扑结构中不同维度的持续特征可以相互影响，并在一定程度上影响拓扑结构的演化。在拓扑数据分析中，持续同伦可以用来识别数据中的关键形状特征，例如孔洞、洞和环等；
2. 可视化持久性图；
3. 计算图像上的低星滤形 (Lowerstar filtration)；
4. 计算表征链(Representative cochain)。

参考地址：https://ripser.scikit-tda.org/en/latest/index.html

2 安装

Pipser库依赖于Cython库：

pip install cython
pip install ripser

3 示意

可以通过以下代码测试是否安装成功：

import numpy as np
from ripser import ripser
from persim import plot_diagrams


data = np.random.random((100, 2))
diagrams = ripser(data)['dgms']
plot_diagrams(diagrams, show=True)

输出如下：

关于图中的$H_0$和$H_1$：

• $H_0$：表示一个拓扑空间中连通分支的数量。通常情况下它的值为1或更大的正整数，表示该空间有一个或多个连通分支；
• $H_1$：表示一个拓扑空间中的环的数量。如果一个空间是连通的但不是环的，那么H_1$为零。如果有一条环，那么H_1$就是整数1。如果有两个不相交的环，那么H_1$就是整数2，以此类推；
• $H_2$：表示一个拓扑空间中的空洞的数量。一个空洞可以被看作是一个二维的“空心环”，也就是一个环的内部又被一个环包围起来了。类似地，如果一个空间没有任何空洞，那么$H_2$为零。如果有一个空洞，那么H2为整数1。如果有两个不相交的空洞，那么$H_2$为整数2，以此类推。

以上代码还可以有以下替代方式：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from ripser import Rips


rips = Rips()
data = np.random.random((100,2))
diagrams = rips.fit_transform(data)
rips.plot(diagrams)
plt.show()

此时的绘制结果会有些许不同：