此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选,仅包含部分经典习题,需要完整版习题答案请自行查找,本系列属于知识点巩固部分,搭配如下几个系列进行学习,可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础
非线性控制系统分析考研参考题
REFERENCE1
设非线性系统结构图如下图所示,其中非线性环节的描述函数为: N ( A ) = 3 4 e 2 ∠ 0 ° N(A)=\displaystyle\frac{3}{4}e^2\angle0° N(A)=43e2∠0°,试分析系统的稳定性。
解:
非线性环节的负倒描述函数为:
− 1 N ( A ) = − 4 3 A 2 -\frac{1}{N(A)}=-\frac{4}{3A^2} −N(A)1=−3A24
线性部分频率特性为:
G ( j ω ) = 1 j ω ( j ω + 1 ) ( j ω + 2 ) = U ( ω ) + j V ( ω ) G({\rm j}\omega)=\frac{1}{
{\rm j}\omega({\rm j}\omega+1)({\rm j}\omega+2)}=U(\omega)+{\rm j}V(\omega) G(jω)=jω(jω+1)(jω+2)1=U(ω)+jV(ω)
其中:
U ( ω ) = − 3 9 ω 2 + ( 2 − ω 2 ) 2 , V ( ω ) = − 2 − ω 2 9 ω 3 + ω ( 2 − ω 2 ) 2 U(\omega)=-\frac{3}{9\omega^2+(2-\omega^2)^2},V(\omega)=-\frac{2-\omega^2}{9\omega^3+\omega(2-\omega^2)^2} U(ω)=−9ω2+(2−ω2)23,V(ω)=−9ω3+ω(2−ω2)22−ω2
令 V ( ω ) = 0 V(\omega)=0 V(ω)=0,可得 G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)与负实轴交点处频率 ω = 2 \omega=\sqrt{2} ω=2。将 ω = 2 \omega=\sqrt{2} ω=2代入 U ( ω ) U(\omega) U(ω),可得 G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)与负实轴交点处的幅值为 − 1 / 6 -1/6 −1/6.
G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)曲线与 − 1 / N ( A ) -1/N(A) −1/N(A)曲线如下图所示:
由图可知, G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)曲线与 − 1 / N ( A ) -1/N(A) −1/N(A)曲线交点频率为 ω = 2 \omega=\sqrt{2} ω=2,振幅为:
− 4 3 A 2 = − 1 6 ⇒ A = 2 2 -\frac{4}{3A^2}=-\frac{1}{6}\Rightarrow{A}=2\sqrt{2} −3A24=−61⇒A=22
因此,该非线性系统存在不稳定的周期运动,其频率为: 2 \sqrt{2} 2,振幅为: 2 2 2\sqrt{2} 22.
REFERENCE2
非线性系统如下图所示,其中非线性特性的描述函数为:
N ( A ) = 4 π A 1 − ( 1 A ) 2 − j 4 π A 2 , A ≥ 1 N(A)=\frac{4}{\pi{A}}\sqrt{1-\left(\frac{1}{A}\right)^2}-{\rm j}\frac{4}{\pi{A^2}},A≥1 N(A)=πA41−(A1)2−jπA24,A≥1
试用描述函数法判断系统是否发生自振(要求作图)。
解:
描述函数
N ( A ) = 4 π A 1 − ( 1 A ) 2 − j 4 π A 2 = 4 π A 2 ( A 2 − 1 − j ) \begin{aligned} N(A)&=\frac{4}{\pi{A}}\sqrt{1-\left(\frac{1}{A}\right)^2}-{\rm j}\frac{4}{\pi{A^2}}=\frac{4}{\pi{A^2}}(\sqrt{A^2-1}-{\rm j}) \end{aligned} N(A)=πA41−(A1)2−jπA24=πA24(A2−1−j)
因此有
− 1 N ( A ) = − π A 2 4 ⋅ 1 A 2 − 1 − j = − π A 2 4 ⋅ A 2 − 1 + j ( A 2 − 1 ) 2 + 1 = − π 4 ⋅ ( A 2 − 1 + j ) -\frac{1}{N(A)}=-\frac{\pi{A^2}}{4}·\frac{1}{\sqrt{A^2-1}-{\rm j}}=-\frac{\pi{A^2}}{4}·\frac{\sqrt{A^2-1}+{\rm j}}{(\sqrt{A^2-1})^2+1}=-\frac{\pi}{4}·(\sqrt{A^2-1}+{\rm j}) −N(A)1=−4πA2⋅A2−1−j1=−4πA2⋅(A2−1)2+1A2−1+j=−4π⋅(A2−1+j)
显然
R e [ − 1 N ( A ) ] < 0 , ∀ A , I m [ − 1 N ( A ) ] = − π 4 = − 0.7854 , ∀ A {\rm Re}\left[-\frac{1}{N(A)}\right]<0,\forall{A},{\rm Im}\left[-\frac{1}{N(A)}\right]=-\frac{\pi}{4}=-0.7854,\forall{A} Re[−N(A)1]<0,∀A,Im[−N(A)1]=−4π=−0.7854,∀A
线性部分频率特性为:
G ( j ω ) = 70 ( j ω ) 2 + 10 j ω + 100 = 70 ( 100 − ω 2 ) 2 + j 10 ω G({\rm j}\omega)=\frac{70}{({\rm j}\omega)^2+10{\rm j}\omega+100}=\frac{70}{(100-\omega^2)^2+{\rm j}10\omega} G(jω)=(jω)2+10jω+10070=(100−ω2)2+j10ω70
若 ω = 0 \omega=0 ω=0,则 G ( j 0 ) = 0.7 G({\rm j0})=0.7 G(j0)=0.7; ω = 10 , G ( j 10 ) = − j 0.7 ; ω → ∞ , ∣ G ( j ∞ ) ∣ = 0 \omega=10,G({\rm j10})=-{\rm j}0.7;\omega\to\infty,|G({\rm j}\infty)|=0 ω=10,G(j10)=−j0.7;ω→∞,∣G(j∞)∣=0。
G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)曲线与 − 1 / N ( A ) -1/N(A) −1/N(A)曲线如下图所示:
由图可知, G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)与 − 1 / N ( A ) -1/N(A) −1/N(A)无交点,故系统不会发生自振。
REFERENCE3
设非线性系统如下图所示,试在 c − c ˙ c-\dot{c} c−c˙相平面上绘制起始于 ( − 2 , 0 ) (-2,0) (−2,0)点的相轨迹,并求出相轨迹与开关线的两个交点的坐标值。
解:
由图可知: e ( t ) = − c ( t ) e(t)=-c(t) e(t)=−c(t).
u ( t ) = { + 1 , e > 1 及 e < − 1 且 e ˙ < 0 − 1 , e < 1 及 e > − 1 且 e ˙ > 0 u(t)=\begin{cases} &+1,e>1及e<-1且\dot{e}<0\\\\ &-1,e<1及e>-1且\dot{e}>0 \end{cases} u(t)=⎩
⎨
⎧+1,e>1及e<−1且e˙<0−1,e<1及e>−1且e˙>0
整理可得:
c ¨ + c = u \ddot{c}+c=u c¨+c=u
相轨迹方程为:
{ c ¨ + c = 1 , c < − 1 及 c < 1 且 c ˙ > 0 c ¨ + c = − 1 , c > − 1 及 c > 1 且 c ˙ < 0 \begin{cases} &\ddot{c}+c=1,c<-1及c<1且\dot{c}>0\\\\ &\ddot{c}+c=-1,c>-1及c>1且\dot{c}<0 \end{cases} ⎩
⎨
⎧c¨+c=1,c<−1及c<1且c˙>0c¨+c=−1,c>−1及c>1且c˙<0
开关线方程为: c = ± 1 c=±1 c=±1.
对于 c ¨ + c = 1 \ddot{c}+c=1 c¨+c=1,有
c ˙ d c ˙ d c = 1 − c ⇒ c ˙ d c ˙ = ( 1 − c ) d c \dot{c}\frac{
{\rm d}\dot{c}}{
{\rm d}c}=1-c\Rightarrow\dot{c}{\rm d}\dot{c}=(1-c){\rm d}c c˙dcdc˙=1−c⇒c˙dc˙=(1−c)dc
积分可得:
1 2 [ c ˙ 2 − c ˙ 2 ( 0 ) ] = 1 2 [ ( 1 − c ( 0 ) ) 2 − ( 1 − c ) 2 ] \frac{1}{2}[\dot{c}^2-\dot{c}^2(0)]=\frac{1}{2}[(1-c(0))^2-(1-c)^2] 21[c˙2−c˙2(0)]=21[(1−c(0))2−(1−c)2]
整理可得:
c ˙ 2 = [ 1 − c ( 0 ) ] 2 + c ˙ 2 ( 0 ) − ( 1 − c ) 2 \dot{c}^2=[1-c(0)]^2+\dot{c}^2(0)-(1-c)^2 c˙2=[1−c(0)]2+c˙2(0)−(1−c)2
因起点为 ( − 2 , 0 ) (-2,0) (−2,0),即 c ( 0 ) = − 2 , c ˙ ( 0 ) = 0 c(0)=-2,\dot{c}(0)=0 c(0)=−2,c˙(0)=0,故相轨迹方程为:
c ˙ = 9 − ( 1 − c ) 2 \dot{c}=\sqrt{9-(1-c)^2} c˙=9−(1−c)2
这是一个抛物线方程,相轨迹在开关线 c = 1 c=1 c=1上的交点坐标为: c = 1 , c ˙ = 3 c=1,\dot{c}=3 c=1,c˙=3,即 ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3).
根据相轨迹的对称性可知,另一对称点坐标为 ( − 1 , 3 ) (-1,3) (−1,3).
对于 c ¨ + c = − 1 \ddot{c}+c=-1 c¨+c=−1,有:
c ˙ d c ˙ = − ( 1 + c ) d c \dot{c}{\rm d}\dot{c}=-(1+c){\rm d}c c˙dc˙=−(1+c)dc
积分整理可得:
c ˙ 2 = [ 1 + c ( 0 ) ] 2 + c ˙ 2 ( 0 ) − ( 1 + c ) 2 \dot{c}^2=[1+c(0)]^2+\dot{c}^2(0)-(1+c)^2 c˙2=[1+c(0)]2+c˙2(0)−(1+c)2
由起点 ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3)即 c ( 0 ) = 1 , c ˙ ( 0 ) = 3 c(0)=1,\dot{c}(0)=3 c(0)=1,c˙(0)=3,可得相轨迹方程为:
c ˙ = 13 − ( 1 + c ) 2 \dot{c}=\sqrt{13-(1+c)^2} c˙=13−(1+c)2
这是一个抛物线方程,相轨迹在开关线 c = − 1 c=-1 c=−1上的交点为 ( − 1 , − 3.6056 ) (-1,-3.6056) (−1,−3.6056),其对称交点为 ( − 1 , 3.6056 ) (-1,3.6056) (−1,3.6056)。
当起点为 ( − 1 , − 3.6056 ) (-1,-3.6056) (−1,−3.6056)时,相轨迹方程为:
c ¨ + c = 1 \ddot{c}+c=1 c¨+c=1
积分并整理可得:
c ˙ = 17 − ( 1 − c ) 2 \dot{c}=\sqrt{17-(1-c)^2} c˙=17−(1−c)2
其与开关线 c = 1 c=1 c=1的交点为 ( 1 , 4.1231 ) (1,4.1231) (1,4.1231),对称相点为 ( 1 , − 4.1231 ) (1,-4.1231) (1,−4.1231).
系统相轨迹曲线如下图所示:
REFERENCE4
设非线性系统如下图所示,若希望输出 c ( t ) c(t) c(t)为频率 ω = 2 \omega=2 ω=2,幅值 A c = 2 A_c=2 Ac=2的周期(近似正弦)信号,试确定系统参数 K K K与 a a a的值 ( \left(\right. (非线性环节描述函数为: N ( A ) = 4 M π A N(A)=\displaystyle\frac{4M}{\pi{A}} N(A)=πA4M ) \left.\right) ).
解:
系统线性部分传递函数为:
G ( s ) = 2 K s ( s + 1 ) ( s + a ) = 2 K ( 1 + a ) s 2 + s ( s 2 + a ) G(s)=\frac{2K}{s(s+1)(s+a)}=\frac{2K}{(1+a)s^2+s(s^2+a)} G(s)=s(s+1)(s+a)2K=(1+a)s2+s(s2+a)2K
由题意,要求系统产生自振,其自振频率为 ω = 2 \omega=2 ω=2,自振振幅为 A = 2 A c = 4 A=2A_c=4 A=2Ac=4.
因此负倒描述函数与 G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)交点处
− 1 N ( A ) = − π A 4 M = − π -\frac{1}{N(A)}=-\frac{\pi{A}}{4M}=-\pi −N(A)1=−4MπA=−π
频率特性
G ( j ω ) = 2 K − ( 1 + a ) ω 2 + j ω ( a − ω 2 ) ∣ ω = 2 = 2 K − 4 ( 1 + a ) + j 2 ( a − 4 ) G({\rm j}\omega)=\left.\frac{2K}{-(1+a)\omega^2+{\rm j}\omega(a-\omega^2)}\right|_{\omega=2}=\frac{2K}{-4(1+a)+{\rm j}2(a-4)} G(jω)=−(1+a)ω2+jω(a−ω2)2K∣
∣ω=2=−4(1+a)+j2(a−4)2K
因为 − 1 / N ( A ) -1/N(A) −1/N(A)与 G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)在负实轴上相交,故令 I m G ( j ω ) = 0 {\rm Im}G({\rm j}\omega)=0 ImG(jω)=0,可得 a = 4 a=4 a=4.令
R e G ( j 2 ) = − 1 N ( A ) ∣ A = 4 ⇒ − 2 K 4 a + 4 = − π ⇒ K = 10 π {\rm Re}G({\rm j}2)=-\left.\frac{1}{N(A)}\right|_{A=4}\Rightarrow-\frac{2K}{4a+4}=-\pi\Rightarrow{K=10\pi} ReG(j2)=−N(A)1∣
∣A=4⇒−4a+42K=−π⇒K=10π
因此,所求参数为: a = 4 , K = 10 π = 31.4 a=4,K=10\pi=31.4 a=4,K=10π=31.4.
REFERENCE5
设非线性系统如下图所示,试大致画出 c ( 0 ) = − 3 , c ˙ ( 0 ) = 0 , r ( t ) = 1 ( t ) c(0)=-3,\dot{c}(0)=0,r(t)=1(t) c(0)=−3,c˙(0)=0,r(t)=1(t)的相轨迹图。
解:
由图可知: c ¨ ( t ) + c ˙ = m ( t ) \ddot{c}(t)+\dot{c}=m(t) c¨(t)+c˙=m(t).
m ( t ) = { e ( t ) , ∣ e ∣ ≤ 2 2 , e > 2 − 2 , e < − 2 m(t)=\begin{cases} &e(t),&&|e|≤2\\ &2,&&e>2\\ &-2,&&e<-2 \end{cases} m(t)=⎩
⎨
⎧e(t),2,−2,∣e∣≤2e>2e<−2
且有:
e ( t ) = r ( t ) − c ( t ) = 1 − c ( t ) , e ˙ ( t ) = − c ˙ ( t ) , e ¨ ( t ) = − c ¨ ( t ) e(t)=r(t)-c(t)=1-c(t),\dot{e}(t)=-\dot{c}(t),\ddot{e}(t)=-\ddot{c}(t) e(t)=r(t)−c(t)=1−c(t),e˙(t)=−c˙(t),e¨(t)=−c¨(t)
故系统分段线性微分方程为:
{ e ¨ ( t ) + e ˙ ( t ) + e ( t ) = 0 , ∣ e ∣ ≤ 2 e ¨ ( t ) + e ˙ ( t ) + 2 = 0 , e > 2 e ¨ ( t ) + e ˙ ( t ) − 2 = 0 , e < − 2 \begin{cases} &\ddot{e}(t)+\dot{e}(t)+e(t)=0,&&|e|≤2\\\\ &\ddot{e}(t)+\dot{e}(t)+2=0,&&e>2\\\\ &\ddot{e}(t)+\dot{e}(t)-2=0,&&e<-2 \end{cases} ⎩
⎨
⎧e¨(t)+e˙(t)+e(t)=0,e¨(t)+e˙(t)+2=0,e¨(t)+e˙(t)−2=0,∣e∣≤2e>2e<−2
当 ∣ e ∣ ≤ 2 |e|≤2 ∣e∣≤2时,有
e ˙ d e ˙ d e + e ˙ = − e ⇒ d e ˙ d e = − e − e ˙ e ˙ \dot{e}\frac{
{\rm d}\dot{e}}{
{\rm d}e}+\dot{e}=-e\Rightarrow\frac{
{\rm d}\dot{e}}{
{\rm d}e}=\frac{-e-\dot{e}}{\dot{e}} e˙dede˙+e˙=−e⇒dede˙=e˙−e−e˙
令 d e ˙ d e = 0 0 \displaystyle\frac{
{\rm d}\dot{e}}{
{\rm d}e}=\displaystyle\frac{0}{0} dede˙=00,求得奇点为: e = 0 , e ˙ = 0 e=0,\dot{e}=0 e=0,e˙=0.在该区域内,特征方程为:
s 2 + s + 1 = 0 ⇒ s 1 , 2 = − 1 2 ± j 3 2 s^2+s+1=0\Rightarrow{s_{1,2}}=-\frac{1}{2}±{\rm j}\frac{\sqrt{3}}{2} s2+s+1=0⇒s1,2=−21±j23
故该奇点为稳定焦点。
令 d e ˙ d e = α \displaystyle\frac{
{\rm d}\dot{e}}{
{\rm d}e}=\alpha dede˙=α,可得等倾线方程为:
e ˙ = − e 1 + α \dot{e}=-\frac{e}{1+\alpha} e˙=−1+αe
可知,等倾线为一簇过原点的直线。
当 e > 2 e>2 e>2时,
d e ˙ d e = − e ˙ − 2 e ˙ \frac{
{\rm d}\dot{e}}{
{\rm d}e}=\frac{-\dot{e}-2}{\dot{e}} dede˙=e˙−e˙−2
无奇点.
等倾线方程为:
e ˙ = − 2 1 + α \dot{e}=-\frac{2}{1+\alpha} e˙=−1+α2
等倾线为一簇平行于横轴的直线。在 α = 0 \alpha=0 α=0时,有 e ˙ = − 2 \dot{e}=-2 e˙=−2.
当 e < − 2 e<-2 e<−2时,
d e ˙ d e = − e ˙ + 2 e ˙ \frac{
{\rm d}\dot{e}}{
{\rm d}e}=\frac{-\dot{e}+2}{\dot{e}} dede˙=e˙−e˙+2
无奇点.
等倾线方程为:
e ˙ = 2 1 + α \dot{e}=\frac{2}{1+\alpha} e˙=1+α2
等倾线为一簇平行于横轴的直线。在 α = 0 \alpha=0 α=0时,有 e ˙ = 2 \dot{e}=2 e˙=2.
由于 c ( 0 ) = − 3 , c ˙ ( 0 ) = 0 c(0)=-3,\dot{c}(0)=0 c(0)=−3,c˙(0)=0,故
e ( 0 ) = r ( 0 ) − c ( 0 ) = 1 − ( − 3 ) = 4 , e ˙ ( 0 ) = r ˙ ( 0 ) − c ˙ ( 0 ) = 0 e(0)=r(0)-c(0)=1-(-3)=4,\dot{e}(0)=\dot{r}(0)-\dot{c}(0)=0 e(0)=r(0)−c(0)=1−(−3)=4,e˙(0)=r˙(0)−c˙(0)=0
在 e − e ˙ e-\dot{e} e−e˙相平面上,起始于 ( 4 , 0 ) (4,0) (4,0)的概略相轨迹如下图所示:
REFERENCE6
设非线性系统如下图所示,其中非线性部分描述函数为: N ( A ) = − 1 A e j π 6 N(A)=-\displaystyle\frac{1}{A}{\rm e}^{ {\rm j}\frac{\pi}{6}} N(A)=−A1ej6π,试用描述函数法分析系统的自由运动,若有自振,求出自振振幅和频率。
解:
线性部分频率特性:
G ( j ω ) = 5 j ω + 4 = 5 16 + ω 2 ∠ − arctan ω 4 G({\rm j}\omega)=\frac{5}{
{\rm j}\omega+4}=\frac{5}{\sqrt{16+\omega^2}}\angle-\arctan\frac{\omega}{4} G(jω)=jω+45=16+ω25∠−arctan4ω
非线性部分负倒描述函数:
− 1 N ( A ) = A e − j π 6 -\frac{1}{N(A)}=A{\rm e}^{-{\rm j}\frac{\pi}{6}} −N(A)1=Ae−j6π
G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)曲线与 − 1 / N ( A ) -1/N(A) −1/N(A)曲线如下图所示:
由图可知, G ( j ω ) G({\rm j}\omega) G(jω)与 − 1 / N ( A ) -1/N(A) −1/N(A)存在交点,故系统自由运动为稳定的自激振荡。
令
G ( j ω ) = − 1 N ( A ) G({\rm j}\omega)=-\frac{1}{N(A)} G(jω)=−N(A)1
由
− arctan ω 4 = − π 6 ⇒ ω = 2.31 -\arctan\frac{\omega}{4}=-\frac{\pi}{6}\Rightarrow\omega=2.31 −arctan4ω=−6π⇒ω=2.31
由
A = ∣ G ( j 2.31 ) ∣ = 5 16 + ω 2 ∣ ω = 2.31 = 1.08 A=|G({\rm j}2.31)|=\left.\frac{5}{\sqrt{16+\omega^2}}\right|_{\omega=2.31}=1.08 A=∣G(j2.31)∣=16+ω25∣
∣ω=2.31=1.08
综上,自振频率 ω = 2.31 \omega=2.31 ω=2.31,自振振幅 A = 1.08 A=1.08 A=1.08。