        由之前的文章《自相关函数的定义、计算方法及应用》可以知道，自相关函数有几个常用的性质：

① 自相关函数是偶函数；

② 自相关函数在时延为 0 时取得最大值；

③ 周期函数的自相关函数也是周期函数；

④ 对于非周期函数，当时延趋于无穷时，自相关函数趋于信号均值的平方；

        ⑤ 两个不相关的平稳过程之和的自相关函数等于各自自相关函数之和；

⑥ 若平稳过程X(t) 含有周期分量，那么自相关函数也有同周期的周期分量；

⑦ 若非周期平稳过程含有直流分量，其自相关函数也会有直流分量。



        下文将对这几点性质进行理论证明 （本文假定信号是平稳随机信号）。

1. 偶函数

$R(-\tau)=E[x(t)x(t-\tau)]$

做变量代换，令 $u = t-\tau$ ，则有：

$R(-\tau)=E[x(u+\tau)x(u)]=R(\tau)$

因此，自相关函数为偶函数。

2. tau=0 处取得最大值

利用任何非负函数的期望恒为非负值的性质，则有：

$E[(x(t)-x(t+\tau))^2]\ge0$

$E[x^{2}(t)-2x(t)x(t+\tau)+x^{2}(t+\tau)]\ge0$

$E[x^2(t)]-2E[x(t)x(t+\tau)]+E(x^2(t+\tau))\ge0$

若 $x(t)$ 为平稳过程，则有：

$E[x^2(t)]=E[x^2(x+\tau)]=R_{x,x}(0)$

则有：

$2R(0)-2R(\tau)\ge0$

即：

$R(0)\ge R(\tau)$

因此，自相关函数在 $\tau=0$ 处取得最大值，且为平稳随机过程的 “总平均功率”，总为正。也就是说，同时刻（过程本身）的相关性最强。

3. 周期函数的自相关函数也是周期函数，且周期和原函数相同

$\begin{align} R(t+\tau)&=E[x(t)x(t+\tau+T)]=E[x(t)x((t+T)+\tau)]\nonumber\\ &=E[x(t)x(t)+\tau)]\nonumber\\ &=R(\tau)\nonumber \end{align}$

4. 对于非周期信号，当 tau 趋于无穷大时，自相关函数趋于信号平均值的平方

$\lim\limits_{\left|\tau\rightarrow+\infty\right|}R(\tau)=R(\infty)=\mu^2_x$

证明：

$\begin{align} \lim\limits_{\left|\tau\right|\rightarrow+\infty}R(\tau)=\lim\limits_{\left|\tau\right|\rightarrow+\infty}E[x(t)x(t+\tau)]\nonumber \end{align}$

随着 $\left|\tau\right|$ 增大， $x(t), x(t+\tau)$ 之间的相关性会逐渐减弱，当 $\left|\tau\right|\rightarrow+\infty$ 时， $x(t), x(t+\tau)$ 趋于独立，则有：

$\begin{align} \lim\limits_{\left|\tau\right|\rightarrow+\infty}R(\tau)&=\lim\limits_{\left|\tau\right|\rightarrow+\infty}E[x(t)x(t+\tau)]\nonumber \\ &=\lim\limits_{\left|\tau\right|\rightarrow+\infty}E[x(t)]E[x(t+\tau)]\nonumber\\ &=\mu^2_x \nonumber\end{align}$

5. 两个不相关的平稳过程之和的自相关函数等于各自自相关函数之和

假设有一个随机过程是由两个不相关的随机过程组成，即 $S(t)=X(t)+Y(t)$ ，那么它的自相关函数计算公式为：

$\begin{align} R_s(\tau)=&E[s(t)s(t+\tau)]\nonumber\\ &=E[(x(t)+y(t))(x(t+\tau)y(t+\tau))]\nonumber\\ &=E[x(t)x(t+\tau)+x(t)y(t+\tau)+y(t)x(t+\tau)+y(t)y(t+\tau)]\nonumber\\ &=E[x(t)x(t+\tau)]+E[x(t)y(t+\tau)]+E[y(t)x(t+\tau)]+E[y(t)y(t+\tau)]\nonumber\\ &=R_x(\tau)+E[x(t)y(t+\tau)]+E[y(t)x(t+\tau)]+R_y(\tau) \nonumber\end{align}$

因为 $X(t), Y(t)$ 不相关，所以有：

$E[x(t)y(t+\tau)]=E[y(t)x(t+\tau)]=0$

则有：

$\begin{align} R_s(\tau)&=R_x(\tau)+E[x(t)y(t+\tau)]+E[y(t)x(t+\tau)]+R_y(\tau)\nonumber\\ &=R_x(\tau)+R_y(\tau)\nonumber \end{align}$

6. 若平稳过程 X(t) 含有周期分量，那么自相关函数也有同周期的周期分量

假设有一个平稳过程如下：

$X(t)=S(t)+N(t)=Acos(wt+\phi)+N(t)$

其中， $N(t)$ 为平稳过程，且对于所有 $t$ 而言， $\phi$ 和 $N(t)$ 独立。利用性质 5，则有 $X(t)$ 的自相关函数为：

$R_{x,x}(\tau)=R_{s,s}(\tau)+R_{n,n}(\tau)=\frac{A^2}{2}cos(wt)+R_{n,n}(\tau)$

因此，若某平稳过程含有周期分量，那么其自相关函数也会有同周期的周期分量。

$Acos(wt+\phi)$ 的自相关函数证明过程详见：【20220628】【信号处理】自相关函数在信号处理中的应用——提取被噪声干扰的周期信号的周期

7. 若非周期平稳过程含有直流分量，其自相关函数也会有直流分量

假设有一个非周期平稳过程 $S(t)=X(t)+m$ ，它的自相关函数计算公式为：

$\begin{align} R_s(\tau)&=E[s(t)s(t+\tau)]\nonumber\\ &=E[(x(t)+m)(x(t+\tau)+m)]\nonumber\\ &=E[x(t)x(t+\tau)+mx(t+\tau)+mx(t)+m^2]\nonumber\\ &=E[x(t)x(t+\tau)]+2mE[x(t)]+m^2\nonumber \end{align}$

因此，若非周期平稳过程含有直流分量 $m$ ，则自相关函数也会有直流分量 $m^2$ 。

证毕！

【20220629】【信号处理】（平稳随机信号）自相关函数性质的证明过程