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一. 互相关函数
信号y(n)延迟m个时间间隔后与x(n)的互相关函数定义如下：
此定义可以理解为x(n)不动，y(n)左移m个时间单位后与x(n)对应相乘求和的结果。
调换x和y的位置，可得：
理解其几何意义：
：y(n)不动，x(n)左移m个延迟单位与y(n)相乘求和的结果；
：x(n)不动，y(n)右移m个延迟单位后与x(n)相乘求和，此时与
关于延迟的图像理解如下：
若x(n)和y(n)是复信号，则相关函数定义如下：
上式子中“*”表示取共轭的过程。
如果x(n)与y(n)是功率信号，那么元定义求出的结果趋于无限大，没有物理意义，此时相关函数修改为如下：
二. 自相关函数
若y(n)=x(n),则互相关函数变成了自相关函数，如下：
自相关函数反映了x(n)与自身左移m个时间单位后的信号x(n+m)的相似程度。
若x(n)是功率信号，自相关函数定义为如下：
2.1 自相关函数是一个偶函数
根据定义可得：
令k=n-m，可得：
所以是偶函数，即：
2.2 自相关函数在m=0时，取得最大值
首先易得：
展开平方项，可得：
化简左边形式，可得：
所以可得：
最终可得：
2.3 极限性质
若x(n)是能量信号，则有如下极限性质：
此极限可以理解成，能量有限信号随着时移量逐渐增加，其相关性就逐渐消失，可以从能量有限的角度来理解这个极限。感兴趣的小伙伴可以参考此本书，更加详细：
《信号数字处理的数学原理》 程乾生 石油工业出版社 1979年
2.4 周期信号的自相关函数也是周期的，且与原信号周期相同
假设x(n)的周期为2N+1，所以可得：
由此可得：
三. 互相关函数的性质
不是偶函数，但是满足如下关系：
3.1 函数上界
具有一个上界：
3.2 极限相关
若x(n)和y(n)是能量信号，那么有：
根据定义，只包含了信号x(n)和y(n)的共有频率成分，所以只有当
和
都不为0时，
才不为0。
四. 谱分析
4.1 频谱
假设x(n)为能量信号，则其傅氏Z变换称为x(n)的频谱，如下：
一般而言，上式为复函数，包含幅度谱和相位谱，如下：
4.2 能量谱
根据帕塞瓦尔定理，有：
根据自相关函数定义可得：
所以可得：
此反映了信号能量E在频域的分布于，称之为信号的能量密度谱，简称能量谱。
4.3 功率谱
将功率信号x(n)进行截短，形成，如下：
显然是
的能量谱，根据功率信号自相关函数，可得：
如果该极限可以求出来的话，根据维纳-辛钦定理，则称如下式子为功率密度谱：
功率密度谱也被简称为功率谱。
五. 随机信号的k阶矩
随机信号{x(t)}的k阶矩，定义为：
由此，一阶矩与均值相关：
二阶矩与自相关函数相关：
根据k阶矩是否与时间有关，可以把随机信号分成平稳随机信号和非平稳随机信号。