现代通信原理2.5：确定信号的能量谱密度、功率谱密度与自相关函数

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文链接： https://blog.csdn.net/tanghonghanhaoli/article/details/97620129

1、能量信号的能量谱密度

  我们首先回顾下帕塞瓦尔定理，对于能量信号 $g(t)$，有
$\tag{1} \int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df.$从《现代通信原理2.2》中，我们知道，(1)为信号 $g(t)$的能量，即
$\tag{2} {\mathcal E}_g=\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df,$其中 $|G(f)|^2$称为能量谱密度（energy spectral density，ESD)。

2、确定功率信号的功率谱密度

  对于功率信号，因为其能量为无穷大，因此我们考虑它的平均功率。若 $g(t)$为实信号，它的平均功率为
$\begin{aligned} P_g&=\overline{g^2(t)}\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g^2(t)dt\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}g_T^2(t)dt,\\ \end{aligned}$其中 $g_T(t)=g(t){\rm Rect}(\frac{t}{T})$为 $g(t)$的截断函数，即将 $g(t)$在 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上的波形取出来，显然 $g_T(t)$为能量信号，它的傅里叶变换为 $G(f)$。进一步根据帕塞瓦尔定理，有
$\begin{aligned} P_g&=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}g_T^2(t)dt\\ &=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}|G_T(f)|^2df\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[ \lim_{T\rightarrow \infty}\frac{|G_T(f)|^2}{T}\right]df. \end{aligned}$因此，我们定义确定功率信号 $g(t)$的功率谱密度为
$P_g(f)=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{|G_T(f)|^2}{T}({\rm W/Hz}),$显然有
$P_g=\int_{-\infty}^{\infty}P_g(f)df,$这意味着，将功率谱密度在整个频率轴上积分，就得到信号的总功率。注意我们有单边功率谱密度和双边功率谱密度两种定义。通俗来说，若 $g(t)$信号的平均功率为 $P_g$，如果我们认为频率只存在正的值（事实上也确实如此），则所有功率都分布在正半轴上；而如果认为频率有正有负，，则功率都分布在正负两个半轴上。显然单边功率谱密度是双边的两倍，但积分之后的总功率不变。我们后面在白噪声的部分还会详细讨论这个问题。

3、确定信号的自相关函数与Wiener-Khintchine定理

  对于确定信号 $g(t)$，我们定义它的相关函数为
$R_g(\tau)\triangleq \overline{g(t)g(t+\tau)}=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)g(t+\tau)dt,$其自变量为 $\tau$，表示时延的大小。显然 $R_g(0)=P_g$。进一步，根据Wiener-Khintchine定理，有
$R_g(\tau)\quad \leftrightarrow \quad P_g(f),$即信号的自相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对。

  尽管我们在这一节定义了确定信号的能量谱密度、功率谱密度以及自相关函数，但事实上我们很少用功率谱密度等来分析确定信号，因为频谱密度就够了。在随机信号部分，我们将对随机信号的功率谱密度进行定义，我们将看到随机信号的功率谱密度是主要的频域特性。