PCA(Principal Component Analysis)在机器学习领域中，是很常见的一种降维的方法。
PCA的主要思想：将原始高维数据集中的点，映射到低维的超平面中，映射（投影）之后的结果，就是经PCA降维之后的结果（PCA降维具有较高的不可解释性）。
很自然的一个问题是：如何将高维的数据映射到低维呢？什么样的映射方法才是最好的？
答：原始数据到新构建的超平面的距离都足够近（最近重构性） or 原始数据在这个超平面上的投影尽可能分开（最大可分性）。
那么如何构建这个超平面呢？其实我理解的PCA降维，就是重新构建一个坐标系，将原始数据投影到新的坐标系当中去。具体有很多公式推导，建议翻阅周志华教授的机器学习一书中的第10章内容，讲解的很详细（但我没太看懂）。
由于我的主要目的是学会用PCA到我的任务中，并不研究如何对数据进行降维，所以下文我主要讲解Matlab中PCA的用法以及分析等。
设有需要降维的矩阵X（n行d列，n表示数据集中样本数，d表示特征数），Matlab中PCA用法如下：
[coeff,score,latent] = pca(X);
coeff是什么呢？根据官方文档，coeff是d*d的一个矩阵，是X矩阵的主成分系数，又称为载荷，周志华西瓜书中又将其称为投影矩阵，我理解可能就是新构建的坐标系。coeff这个矩阵跟我们任务相关性不大，知道是什么就行。
score是什么呢？score就是我们需要的了，score与原始X矩阵相对应，也是一个n*d的一个矩阵。根据官方文档的解释，score是原始数据X在主成分空间中的表示（那不就是在新构建的坐标系下的值嘛。。。说那么高大上，还叫做主成分分数，刚开始看还没看懂）。如果你需要将原始数据降维到2维，那你就选取score矩阵中的前两列就行，3维就选score中的前3列，etc。
latent是什么呢？latent又称为主成分方差，是原始数据X的协方差矩阵的特征值。要latent有什么用呢？这就是一个新问题。通常机器学习任务中，我们并不知道把原始数据降低到多少维度比较合适，那么我们可以用latent来帮助我们。latent是一个d行1列的矩阵。以latent的第一行第一列的值为例来说，它是一个实数，表示了如果只选用第一个特征的话，它包含了整个数据集多少的信息量（信息量指数据集的方差大小，方差越大，信息量越多）。如果我们选取了前两个特征，发现其所对应的latent值已经占了整个数据集的95%，那么我们就选取前两个特征就够了，依次类推。
下面我用一个例子来详细的描述一下这个过程。
本例中的数据集来源于http://odds.cs.stonybrook.edu/，用了其中的WBC数据集，是一个乳腺癌相关的数据集，用X来表示该数据集。X是一个377行30列的一个矩阵，一行表示一个患者的全部特征信息，每一列表示患者在该特征下的值（好像是乳腺细胞核的大小占比的数值，诸如此类）。我们用PCA来对该数据集进行降维与分析。
代码如下：
[coeff,score,latent] = pca(X);
latent=[0.144945253673876,.....]（转置）是30行一列的矩阵，我们把latent中的值用excel画个饼状图看看，分析一下。
图1. 不带数据标记绘制的latent饼状图
图2.带数据标记绘制的latent饼状图
从图1与图2中，我们可以发现，前5个特征所包含的信息量已经占了整个数据集的85%。如果任务要求不是很高的话，那么我们只需要选用score矩阵中的前5列就够了，剩下的25个特征就被PCA降掉了。
通过PCA降维可以消除掉数据集中意义不太大的特征，提高模型的训练速度，加快收敛，降低运算量等诸多好处。虽然降维之后的数据，相比于原始的数据肯定是丢失了某些信息，但一般来说，丢弃了也就丢弃了，因为丢弃的信息在一定程度上可以达到去噪的效果，同时也可以提高我们的采样密度。
关于PCA的方法推导，后面再继续研究。目前已经达到了我的任务需求，后面有空的话，详细推导一下PCA。