首先，我们来回顾一下解对初值问题的连续依赖性定理

很明显，解对初值的连续性仅对有限区间有效，无限区间内无法研究相应的问题。用常微分方程描述一个运动过程，在初始值测量中可能会出现一些误差，在有限时间内初值产生的误差可以用上述解对初值问题的连续依赖性解决，但是时间趋近取无穷时初值的扰动对解得影响就是接下来要讨论的稳定性问题

1.1 Lyapunov稳定性的定义

零解的稳定、渐进稳定、不稳定的图示如下

零级稳定零级渐进不稳定零级不稳定

Lyapunov稳定性研究的是零解的稳定性，实际上，微分方程

任一特解的稳定性都可归结为另一方程零解的稳定性，这是因为通过变换

可将上述方程变换为

1.2 稳定性判断

对于一阶常系数微分方程

如果其系数矩阵特征方程的特征根

1. 均具有复实部，那么方程的零解是渐进稳定的

2.具有正实部的根，那么方程的零级是不稳定的

3.具有零根或纯虚根，那么方程的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，具体要根据零根或纯虚根的重数是否等于1来确定。

对于非线性微分方程组

200

可以按照线性近似来确定这个非线性方程零解的稳定性

1.当线性微分方程组特征根都具有复实部或者具有正实部的根时，非线性方程根的稳定性与线性方程根的稳定性一致，具体就是

2.当线性方程具有零根或者纯虚根时，不能由线性近似来确定非线性方程零解的稳定，这叫做临界情形，需要用我们接下来会讲到的李雅普诺夫第二方法（V函数方法）来判断

对于这样一个非线性自治系统

定理：如果存在一个定正函数V(x),使其通过非线性自治方程的全导数dV/dt为常负函数或恒等于0，那么这个非线性自治系统的零解是稳定的

如果存在一个定正函数V(x)，暑期通过非线性自治方程的全导数dV/dt为定负函数，那么这个非线性自治系统的零解是渐进稳定的

注：李雅普诺夫第二方法的思想是，如果全导数常负，也就是轨迹不会单调递增，那么轨迹一定不会超过某个范围。如果全导数为定负，那么轨迹不但不会超过某个范围，而且还会递减回原点。