负反馈的稳定性

负反馈的稳定性是一个很陈旧的内容。但实际上真正理清楚并不简单。最突出的一点是，模电教材上喜欢讲：负反馈系统传递函数 $H(s)=\frac{A(s)}{1+A(s)F}$ ，如果环路增益 $LP=A(s)F$ 满足相位为180°，幅度为1，那么分母就是0，传函变成无穷大，电路开始自激振荡。

如此说来，只要相位不是180°，或者180°时模值不是1，电路就是数学成立的。那么还要求45°或者60°的PhaseMargin干什么呢？可惜的是多数书本对这一点含糊其辞，或者根本没有提。特别是国内的教材很多都是抄袭，更不会对这些问题讲的很细了。

1、 $H(s)$ 是什么东西？

很多时候我们直接对电路做 $Laplace$ 变换，得到一个系统函数。什么是系统函数？

系统函数是系统对冲激信号的响应。而基于线性和时不变特性，任何信号可以通过其自身和冲激卷积得到自己，频域上就是自身的 $Laplace$ 变换和系统函数相乘。这样就得到了该系统对任意输入的输出。

电路分析里面有一块叫动态性能。这和基础教材上的交流分析是两个概念。无论直流还是交流分析，考虑的都是单一频率上的事情。动态特性是考虑整个函数的全频段响应。一种典型的测试方式是加一个阶跃信号，看输出的振荡情况。（好像国内本科教的模电很少有把动态性能单独讲的）

2、稳定性的本质：

谈论稳定性，本质是BIBO:有限的输入得到有限的输出。如果不稳定，那么系统输出就会无限增长，直到达到器件的物理限制。对于放大器，就是输出信号产生自激。自激时幅度达到电源轨，而频率由电路决定，不受信号控制。

负反馈放大为什么会自激？原因在于 $H(s)$ 的分母上出现了右半平面的极点。说明系统的自然响应包含随时间增长的成分。也就是说，特征方程 $1+A(s)F=0$ 的根落在了右半平面。

3、由此得到判断稳定性最直接的办法： ${\color{Red} root}$ ${\color{Red} locus}$ 根轨迹

根轨迹是特征方程里面某一参数变化时根在复平面上的变动情况。对于上述经典负反馈电路的特征方程，可以找到两个比较常用的设计参数（也可以称自由度）： $F$ 和 $A(0)$ 。 $F$ 很容易理解，就是反馈系数，表示有多少输出被送回输入去比较了。 $A(0)$ 表示放大器的直流增益。 $A(s)=A(0)\cdot \frac{P(s)}{N(s)}$ ，其中 $P(s),N(s)$ 都是多项式，一般分母 $N(s)$ 次数高于分子 $P(s)$ ，体现了放大器的低通特性。

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$A(0)$ 变化或者 $F$ 变化时， $1+A(s)F=0$ 的根会跟着变化。其轨迹如果进入右半平面，表明此时放大电路会产生自激，对应的 $A(0)$ 和 $F$ 是不合适的。

4、工程中总是倾向于删繁就简。调节 $F$ 和 $A(0)$ 两个自由度的目的都是为了改变根的位置实现稳定。相比之下， $A(0)$ 涉及到放大管自身，改变 $A(0)$ 意味着工作点的变化甚至电路结构变化，对 $P(s),N(s)$ 都会发生影响。所以调节 $A(0)$ 这个事情，一旦电路“做死”以后是不可能的。

调节 $F$ 则相对简单。只要替换外部的反馈网络（一般是几个无源元件），就可以改变。而且其频率特性较放大器要来的稳定。

更主要的一点是：负反馈的价值在于利用 $F$ 来确定放大倍数，从而提高了电路的线性度。所以 $F$ 是更重要的一个自由度。

5、于是就产生这样一个设计：有一个放大电路，它有一个固定的 $A(s)$ ，同时有一个可以改变的 $F$ 。

现在我们的想法是：能不能保证，在所有的 ${\color{Red} F}$ 下，电路都是稳定的？这就相当于放大器可以通过负反馈得到任何我想要的放大倍数，而不会自激。否则就意味着电路只能进行某些倍数的放大，而另一些放大倍数将使电路不稳定。这就需要对 $A(s)$ 的特性做出一定要求。

问题是： $A(s)$ 应该满足什么样的要求？

6、回头来观察特征方程： $1+A(s)F=0$ 。我们注意到，当方程成立时，有 $A(s)F=-1$ 。说明这一项相位转移了180°，而幅度下降到1了。所以定义这一项叫环路增益。

所以我们想到了另一种观察自激是否存在的方法：Nyquist chart，就是频率 $\omega$ 从0到无穷大变化时 $A(j\omega )F$ 的变化情况。注意，这里把 $s$ 替换成了 $j\omega$ ，表示衡量系统的频率特性。如果对 $A(j\omega )F$ 画出对应的Nyquist chart，那么会发现其大致路径是“绕圈”。其中我们关注的焦点是 $(-1,0)$ 。只要圆圈通过这个点，意味着就有一个频率使电路自激。

由于 $F$ 是一个可变的参数，所以要满足所有的 $F$ 都不会让电路自激。注意 $F$ 的频率特性是忽略的， $A(j\omega )F$ 在 $F$ 变化时，其Nyquist chart的形状是一簇相似的曲线，只不过围绕原点中心进行了缩放。所以我们保证 $F=1$ 下， $A(j\omega )$ 不通过 $(-1,0)$ 点即可满足要求。

进一步地，我们不但要满足 $A(j\omega )$ 不通过 $(-1,0)$ ，还要满足曲线整个不越过 $x=-1$ 这根线。否则，一旦 $F<1$ ，曲线一收缩，依然会经过 $(-1,0)$ 。

7、Nyquist chart是一个平面化的曲线图，把相位和幅度信息包含在一张图里面了。如果拆开并运用对数坐标轴和渐近线近似加以简化，就得到了更便于工程实用的Bode Plot。

波特图的绘图原则不再赘述。只是强调：Bode Plot里面的极点和零点，特别是“极点”这个称呼，并不准确。因为这个点只表示近似中的拐角点，和 $H(s)$ 的极点是两码事。一般和 $A(s)$ 的极点也没有必然联系。（一般 $A(s)$ 极点在左半平面，所以Bode Plot上的极点和 $A(s)$ 的极点是对称的。）

利用Bode Plot判断自激的思路和Nyquist chart是一样的：看 $(-1,0)$ 点。在对数坐标里面就是横轴。如果在180°相位下增益没有落到横轴以下，说明Nyquist chart线越过了 $(-1,0)$ ，系统不稳定；如果横轴和幅频曲线的交点相移越过180°，除非系统这一段在零点造成的幅度上升轨迹里面，否则也是不稳定的。

8、Nyquist chart和Bode Plot最大的意义是：可以用开环的函数 ${\color{Red} }A(s)$ 状况去分析闭环的系统 ${\color{Red} H(s)}$

有必要理清一下这三个概念：环路增益、开环函数、闭环函数。

环路增益： $LP=A(s)F$ 是系统分析最重要的概念，环路增益=-1是特征方程，决定了系统的动态响应。

开环函数： $A(s)$ ，也称为前向增益。利用开环函数的Bode Plot，可以判断其闭环是否稳定，或者在什么样的反馈条件下稳定。

闭环函数： $H(s)=\frac{A(s)}{1+LP}\approx \frac{1}{F}$ ，也称为系统的传递函数。这是一切分析的出发点和回归点。 $A(s)$ 和 $F$ 的所有变化最后都通过 $H(s)$ 体现。

值得一提的是 $F$ 。一般 $F<1$ 。这是否意味着 $F$ 可以无限小，或者 $F$ 绝对不能大于1？

对于第一种情况， $F\rightarrow 0$ ,分母已经不再满足近似条件 $LP\gg 1$ ，放大增益接近于 $A(s)$ 。

对于第二种情况，是“非常深的深度负反馈”，那么增益小于1的同时，Nyquist chart往外“膨胀”，稳定性会变差。所以这种事情是不会有人去干的。

9、由此解答了第一个问题：180°时模值不是1，或者模值为1时不是180°，那么数学上成立，但运放仍然自激。原因见7。

所以要求180°时模值小于1，或者模值为1时小于180°。

第二个问题是：相位裕量为什么要保证60°，或者至少45°？

10、这就和典型的二阶闭环系统动态响应特性有关了。（参考简单的二阶理论）

如果 $A(s)$ 分母是二阶的，分子又是常数或者零点远到可以忽略。那么其根具有共轭对称的特点。阻尼系数决定了 $A(s)$ 的幅频曲线是否会出现尖峰。而频响上的尖峰对应时域施加阶跃信号时，会产生过冲振铃现象。一般情况下，要求阻尼系数大于某一值，而其对应的相位和180°之间的余量即称相位裕度。

11、波特图的一点小技巧：怎么找相位裕度？

相位裕度针对的是环路增益。一般说 $A(s)$ 的相位裕度，是把 $F$ 设为1，默认 $LP$ 最大也即稳定性挑战最严峻的时候。对于更普遍的情况，是找 $|A(s)F|=1$ 点。在对数幅频坐标里面，有 $log(A(s))=-log(F)$ 。所以只要画一条 $y=-log(F)$ 的水平线，和原来Bode Plot的交点对应的就是增益为1的点，该点的相位距离-180°的大小即相位裕度。

12、负反馈的理论在控制论里面非常成熟。讲道理模拟电路里面用到的非常基本。但就是这点内容也让我花了很久才想清楚。原因一是智商捉鸡，第二就不得不喷一下学校的老师了，根本不是讲模电，而是把模电当一门做题的学问。准确讲国内多数高校教模电的，自己都没做成几个电路，基本功都太马了。而且还没B数，天天YY什么JSSC,ISSCC。所以他们教出来的学生大多都不是真正的工程师，而是一只spice monkey，而且还以此为荣，觉得模电就是经验论，抄论文结构，无脑调参。虽然东西能做出来，但基本的原理往往都搞不清，只能跟着国外的idea亦步亦趋，靠补贴和忽悠骗钱，还觉得自己很辛苦，和互联网比是受委屈了。相比之下，很多大牛的功底太扎实了，从半导体基础到系统级行为建模都是功力深厚，所以做的东西写的文章很漂亮。现在中国最聪明勤劳的学生都在搞金融和互联网，剩下渣渣我这些朽木寄生此行勉强糊口饭吃。可惜的是，劣币驱逐良币。现在指导IC发展的本身就是一群不重视基础只知道大概，更擅长喊口号和谋私利的既得利益者，而他们教出来的学生恐怕最后也依然这样去指导，而有才有志之士又早转入它坑。加上国外早已产业成熟形成压倒优势，面对茫茫前路，渣渣我都感到一丝绝望。

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