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前言：
本文主要由几何角度理解定理：
若一个齐次线性方程组系数矩阵的秩r(A)=r<n，则Ax=0的基础解系由n-r(A)个线性无关的解向量所构成。
一.情景铺垫
已知齐次线性方程Ax=0:
可表示为一个系数矩阵与未知数构成的向量的乘积：
可以理解为在三维空间里，方程组的系数矩阵与未知数构成的向量组垂直，而基础解系也是方程组的一个解。所以基础解系必与系数矩阵在三维空间中垂直。
二.一些基础概念的几何阐述
1.秩
从几何的观念看，秩是反映这几根有向线段分布的相对位置的一个数量指标，也可以说就是列向量分布的几何状态值。[1]
若矩阵的秩为1，则该矩阵在空间中为一条线；
r=2,该矩阵在空间中为一个平面。
2.线性相关，无关
从几何角度来看，两向量线性相关相当于二者之间有倍数关系，可看作两条直线且二者是共线关系（平行）。
如果只有x1,x2,x3,x4都取0才能让上方式子等于0，那么说四个向量线性无关。
如果四个未知量不全为0也能让式子等于0，则四个向量线性相关，如果向量组中不存在零向量（有零向量必线性相关），那么必然有几个向量之间存在能线性表出的关系。
我们现在只讨论两个向量之间：
可以总结为：两向量线性相关，二者共线，线性无关，直线不共线，共面。
三.定理几何解释
如果系数矩阵的秩为1，那么该矩阵为空间中一条直线，那么所有与它垂直的向量的集合可以理解为与该直线垂直的一个平面，该平面包含了所有与代表矩阵的直线垂直的所有直线，其实也就是所有解向量，而基础解系的概念是一个能线性表出方程组的任意解的含有若干个向量的集合（能线性表出方程组的任意解所用的最少的向量）。而基础解系中的向量也在解向量集合中，所以基础解系也在该平面上，由平面向量基本定理：平面上的任一向量可以由这个平面内任意两个不共线的向量表示。所以该基础解系中有两个解向量，且二者线性无关（不共线），正好满足n-r(A)=3-1=2。所以说基础解系由n-r(A)个线性无关的解向量构成。
如果系数矩阵的秩为2，那么该矩阵为空间中一个平面，那么所有与它垂直的向量的集合可以理解为与该平面垂直的一堆平行线，因为只有直线才能与一个面中的所有直线垂直，那么所有的解向量都存在共线关系（平行），因此基础解系中只有一个解向量，这个解向量能线性表示所有解，正好满足n-r(A)=3-2=1。所以说基础解系由n-r(A)个线性无关的解向量构成。
参考文献：
[1] 矩阵的秩的几何意义是什么？如何证明？ - 天下无难课的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/558753198/answer/2713597593