上两节我们讲了二分查找算法，因为二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。如果存储在链表中，就真的没有办法用二分查找算法了吗？
实际上，我们只需要对链表稍加改造，就可以实现类似“二分”的查找算法。我们把改造之后的数据结构叫做跳表（Skip list）。
它是一种各方面都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速的插入、删除、查找操作，写起来不是特别复杂，甚至可以代替红黑树。
Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表来实现的。那 Redis 为什么会选择用跳表来实现有序集合呢？
如何理解跳表？
对于一个单链表来说，即便存储的数据时有序的，如果我们想要在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率会很低，时间复杂度很高，是 O(n)。
那如何来提高查询效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来会不会快一点？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。
如果我们现在要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，我们发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。
从这个例子中，我们看出，加了一层索引之后，查找一个结点需要遍历的个数减少了，也就是说查询效率提高了。那如果我们再加一级索引呢？效率会不会更高？
与前面建立第一级索引类似，我们在第一级索引的基础上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。
刚才的例子数量不大，所以即便加了两级索引，查询效率的提升也并不明显。我们画一个 64 个结点的链表，建立 5 级索引，来感受下索引提升的查询效率吧！
可以看出来，原来没有索引的时候，查找 62 需要遍历 62 个结点，现在只需要遍历 11 个结点，查询效率提高了很多！所以，当链表长度很大时，比如 1000、10000 的时候，在构建索引之后，查询效率的提升会非常明显。
这种链表加多级索引的结构就是跳表。
用跳表查询到底有多快？
我们直到，一个单链表的时间复杂度是 O(n)，那在一个具有多级索引的跳表的中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？
我们把问题分解下，先看这样一个问题，如果链表有 n 个结点，会多少级索引？
按照我们刚才说的，每两个结点抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约是 n/4，第三级索引的结点个数大约是 n/8，以此类推，第 k 级索引结点的个数是第 k-1 级结点个数的 1/2，那第 k 级索引结点个数就是 n/(2^k)。
假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2^h) = 2，从而求得 h =log2^n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2^n，我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都需要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。
那这个 m的值是多少呢？按照前面的这种索引结构，我们每一级索引都最多遍历 3 个结点，也就是说 m=3，为什么是 3 呢？
假设我们查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的 z，所以我们通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，我们在 k-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，以次类推，每一级索引最多只需要遍历三个节点。
经过上面的分析，我们得到 m=3，所在跳表中查询任意数据的时候时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，我们其实是基于单链表实现了二分查找，是不是很神奇？不过，天下没有免费的午餐，这种查询效率的提升，前提是建立了很多级索引，也就是空间换时间的设计思路。
跳表是不是很浪费内存？
比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定需要消耗更多的存储空间。我们来分析下跳表的空间复杂度。
假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们每层索引结点数写出来，就是一个等比数列。
这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8...+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们就需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。那我们有什么办法来降低空间复杂度呢？
我们前面都是每两个结点抽出一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽出一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？
从图中看出，第一级索引需要大约 n/3 个结点，第二级需要大约 n/9 个结点。每往上一级，索引结点个数都除以 3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数是 1，那每级索引的结点个数就是一个等比数列。
通过等比数列求和，总的索引结点大小就是 n/3+n/9+n/27+...+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少一半的索引结点存储空间。
实际上，在软件开发中，我们不必要太在意索引占用的额外空间。在将数据结构和算法时，我们习惯性的把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表存储的可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点很大时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。
高效的动态插入和删除
跳表这个动态的数据结构，不仅支持查找，还支持动态的插入和删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。
在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是 O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。
对于纯粹的单链表，需要遍历单链表，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，查找某个结点的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn)。
再来看下删除操作。
如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后再通过指针完成删除。所以，在查找要删除的结点时，一点要获取前驱结点。当然，如果我们用双向链表，就不需要考虑这个问题了。
跳表索引动态更新
当我们不停的往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。
作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡。也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。
红黑树、AVL 树这样的平衡二叉树它们是通过左右旋转的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护平衡性的。
当我们往跳表中插入数据时，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中，如何选择加入哪些索引层呢？
我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 k，那我们就将这个结点添加到第一级到第 k 级这个 k 级索引中。
随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能保证跳表的索引大小与数据大小平衡性，不至于性能过度退化。
解决开篇
为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合，而不是红黑树？
Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的，严格一点来讲，其实还有用到了散列表。Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有：
- 插入一个数据；
- 删除一个数据；
- 查找一个数据；
- 按照区间查找数据（比如查找值在 [100,365] 之间的数据）；
- 迭代输出有序序列。
其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑色也可以完成，时间复杂度和跳表一样。但是按照区间来查找这个操作，红黑树的效率没有跳表高。
对于按照区间查找这个操作，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。
还有别原因，比如跳表代码更容易实现。跳变更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。
不过，跳表也不能完全代替红黑树。因为红黑色要比跳表的出现更早一些，很多编程语言的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发时，直接拿来用就可以了，不用费劲去自己实现一个红黑树，但是跳表并没有一个现成的实现，所以在业务开发中，想要使用跳表，必须要自己实现。
内容小结
今天讲了跳表这种数据结构，它使用空间换时间的设计思路，通过构建多级索引来提高查询效率，实现了基于链表的“二分查找”。跳表是一种动态数据结构，支持快速的插入、删除、查找操作，时间复杂度是 O(nlogn)。
跳表的空间复杂度是 O(n)。不过跳表实现非常灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。
课后思考
对于条表的时间复杂度分析，我们分析了每两个结点提取一个结点作为索引的时间复杂度，如果每三个或者五个结点提取一个结点作为上级索引，对应在跳表中查询数据的时间复杂度是多少呢？
h 层一共有 n/3^h 个结点， h 层，有 3 个结点，n/3^h=3, h=log3^n -1 ，每层索引之间遍历 m 个结点，m=3，时间复杂度是 O(m* log3^n)，所以时间复杂度是 O(logn)。
来源：锌闻网
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