分圆多项式 cyclotomic polynomial

翻译自维基百科

数学上将第$n$个分圆多项式写作${\Phi }_n(X)$。

定义为：

对于任意正整数$n$，${\Phi }_n(X)$是一个不可约的首一多项式，满足${\Phi }_n(X)|x^n-1$，任意$k<n$,${\Phi }_n(X)\nmid x^k-1$。且这个多项式的根都是单位根$e^{2i\pi \frac{k}{n}}$，所以这个多项式可以写为：
$${\Phi }_n(x)=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}\left(x-e^{2i\pi \frac{k}{n}}\right)$$

例子：
$$\begin{array}{l}{\Phi }_1(x)=x-1\\ {\Phi }_2(x)=x+1\\ {\Phi }_3(x)=x^2+x+1\\ {\Phi }_4(x)=x^2+1\\ {\Phi }_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\Phi }_6(x)=x^2-x+1\\ {\Phi }_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\Phi }_8(x)=x^4+1\\ {\Phi }_9(x)=x^6+x^3+1\\ {\Phi }_{10}(x)=x^4-x^3+x^2-x+1\\ {\Phi }_{11}(x)=x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\Phi }_{12}(x)=x^4-x^2+1\\ {\Phi }_{13}(x)=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\Phi }_{14}(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\\ {\Phi }_{15}(x)=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1\\ {\Phi }_{16}(x)=x^8+1\\ {\Phi }_{17}(x)=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\Phi }_{18}(x)=x^6-x^3+1\\ {\Phi }_{19}(x)=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+\\ {\Phi }_{20}(x)=x^8-x^6+x^4-x^2+1\\ {\Phi }_{21}(x)=x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1\\ {\Phi }_{22}(x)=x^{10}-x^9+x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\\ {\Phi }_{23}(x)=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\ +x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\Phi }_{24}(x)=x^8-x^4+1\\ {\Phi }_{25}(x)=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^5+1\\ {\Phi }_{26}(x)=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^9+x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\\ {\Phi }_{27}(x)=x^{18}+x^9+1\\ {\Phi }_{28}(x)=x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1\\ {\Phi }_{29}(x)=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\ +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\Phi }_{30}(x)=x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1\end{array}$$

在同态加密中，用到的最重要的一个性质是：
$${\Phi }_{2^h}(x)=x^{2^{h-1}}+1$$
所以对于一个$2$的幂次$N=2^k$，所谓的第2N个分圆多项式就是指
$${\varphi }_{2N}(X)=X^N+1$$