1. definitions for NP (using the handout titled "np-wiwki")
- verifier, proof, certificate, (short/succinct), language, decision problem
在讲P类问题之前先介绍两个个概念：多项式，时间复杂度。
1、多项式：axn-bxn-1+c 叫x最高次为n的多项式....
2、时间复杂度
我们知道在计算机算法求解问题当中，经常用时间复杂度和空间复杂度来表示一个算法的运行效率。空间复杂度表示一个算法在计算过程当中要占用的内存空间大小，这里暂不讨论。时间复杂度则表示这个算法运行得到想要的解所需的计算工作量，他探讨的是当输入值接近无穷时，算法所需工作量的变化快慢程度。
举个例子：冒泡排序。
在计算机当中，排序问题是最基础的，将输入按照大小或其他规则排好序，有利于后期运用数据进行其他运算。冒泡排序就是其中的一种排序算法。假设手上现在有n个无序的数，利用冒泡排序对其进行排序，
①首先比较第1个数和第2个数，如果后者>前者，就对调他们的位置，否则不变
②接着比较第2个数和第3个数，如果后者>前者，就对调他们的位置，否则不变
③一直向下比较直到第n-1和第n个数比较完，第一轮结束。（这时候最大的数移动到了第n个数的位置）
④重复前三步，但是只比较到第n-1个数（将第二大的数移动到第n-1个数位置）
⑤持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
举个实例：5,4,3,2,1，对其进行排序，先是比较5跟4变成4,5,3,2,1，第一轮结束后变成43215，可以计算，当对其排序完正好要经过4+3+2+1=10次比较，当然这是最复杂的情况，即完全反序。可以知道对于n个数，至多要经过1+2+...+n-1即(n^2-n)/2次比较才能排好序。这个式子里n的最高次阶是2，可知道当n→∞时，一次性对其比较次数影响很小，所以我们把这个算法的时间复杂度比作：o(n^2)。取其最高次，可以看出，这是一个时间复杂度为多项式的表示方式。
时间复杂度排序o(1)<o(n)<o(lgn)<o(n^2)<o(n^a)<o(e^n)（a>2,n表示输入的数据个数，o(1)为常数级别）
好了，介绍完上面的概念就可以开始讲关于什么叫P类问题了。以上个例子冒泡排序为例，我们知道了，在排序这个大问题里，是可以找到一种时间复杂度为多项式o(n^2)的算法(如冒泡排序法)来求解排序问题的，所以我们说排序问题是一个有多项式时间算法的问题。
所以我们称，
P类问题：存在多项式时间算法的问题。(P：polynominal，多项式)
然后扯个题外话，为什么我们要研究这个？因为计算机处理的输入常常不是那么几十个几千个那么一点点，想象一下，当计算机处理的数据达到100万个的时候，时间复杂度为o(n^2)和o(e^n)的算法，所需的运行次数简直是天壤之别，o(e^n)指数级的可能运行好几天都没法完成任务，所以我们才要研究一个问题是否存在多项式时间算法。而我们也只在乎一个问题是否存在多项式算法，因为一个时间复杂度比多项式算法还要复杂的算法研究起来是没有任何实际意义的。
好了，接下来我们介绍NP，先给定义，
NP类问题：能在多项式时间内验证得出一个正确解的问题。(NP:Nondeterministic polynominal，非确定性多项式)
P类问题是NP问题的子集，因为存在多项式时间解法的问题，总能在多项式时间内验证他。
注意定义，这里是验证。NP类问题，我用个人的俗话理解就是，不知道这个问题是不是存在多项式时间内的算法，所以叫non-deterministic非确定性，但是我们可以在多项式时间内验证并得出这个问题的一个正确解。
3. a reduction from hamiltonian cycle problem to traveling salesman problem