1994. 好子集的数目 : 状压 DP 运用题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1994. 好子集的数目 ，难度为困难。

Tag : 「状压 DP」

给你一个整数数组 nums 。如果 nums 的一个子集中，所有元素的乘积可以表示为一个或多个互不相同的质数的乘积，那么我们称它为好子集。

比方说，如果 nums = [1, 2, 3, 4] ：
- [2, 3] ，[1, 2, 3] 和 [1, 3] 是好子集，乘积分别为 6 = 2*3 ，6 = 2*3 和 3 = 3 。
- [1, 4] 和 [4] 不是好子集，因为乘积分别为 4 = 2*2 和 4 = 2*2 。
请你返回 nums 中不同的好子集的数目对 $10^9 + 7$ 取余的结果。

nums 中的子集是通过删除 nums 中一些（可能一个都不删除，也可能全部都删除）元素后剩余元素组成的数组。如果两个子集删除的下标不同，那么它们被视为不同的子集。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4]

输出：6

解释：好子集为：
- [1,2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
- [1,2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同的质数 2 和 3 的乘积。
- [1,3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。
- [2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
- [2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同的质数 2 和 3 的乘积。
- [3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。
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示例 2：

输入：nums = [4,2,3,15]

输出：5

解释：好子集为：
- [2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
- [2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同质数 2 和 3 的乘积。
- [2,15]：乘积为 30 ，可以表示为互不相同质数 2，3 和 5 的乘积。
- [3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。
- [15]：乘积为 15 ，可以表示为互不相同质数 3 和 5 的乘积。
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提示：

$1 <= nums.length <= 10^5$
$1 <= nums[i] <= 30$

状压 DP

该问题属于 NP 完全问题，注定不存在多项式解决方案，只能通过「爆搜 + 剪枝」或「状压 DP」来求解。

对子集的乘积进行质数分解，等价于对子集每一位数进行质数分解。

一个显然的突破口是 $1 <= nums[i] <= 30$ ，再加上题目对于「好子集」的定义，我们可以进一步缩减可选数的数量，不超过 $30$ 的质数个数包括 $[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]$ （共 $10$ 个），将其记作 $p$ ，在一个好子集中，每个 $p[i]$ 最多出现一次。

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同时，题目规定数值相同，下标不同均视为不同方案，因此我们可以先使用数组 $cnts$ 统计在 $nums$ 中每个数的出现次数， $cnts[val] = x$ 含义为数值 $val$ 在 $nums$ 中的出现次数为 $x$ 次。

使用的数有限（共 $10$ 个），并且使用到的数最多出现一次，容易想到使用「状压 DP」来求解：我们使用一个二进制数来表示好子集乘积最终能拆解成哪些质数，如果拆解结果中包含 $p[i]$ ，对应的二进制表示中的第 $i$ 位则为 $1$ ，否则为 $0$ 。

定义 $f[state]$ 为当前子集乘积拆解结果的用到的质数为 $state$ 时的方案数， $state$ 为一个长度 $10$ 的二进制数，若 $state$ 中的第 $k$ 位二进制表示为 $1$ ，代表数值 $p[k]$ 在拆解结果中出现过；若第 $k$ 位二进制表示为 $0$ 代表 $p[k]$ 在拆解结果中没出现过。

我们有起始化条件：空集，即 $f[0] = 1$ 。

不失一般性考虑 $f[s]$ 该如何计算：从前往后考虑每个数值（范围 $[2, 30]$ 的数， $1$ 添加与否不对好子集产生影响，最后讨论）是否可以加入到子集中，一个数值 $t$ 能够添加到子集中的充要条件为题目给定的条件：该数不会被相同的质数相乘表示。

如果一个数值 $t$ 能够添加到好子集中，我们通过「试除法」将其分解为 $p$ 中的多个质数，并使用二进制数 $cur$ 来表示用到了 $p$ 中的哪些质数，然后需要判断 $t$ 能够添加到那些子集中，其实就是枚举与 $cur$ 无交集的状态 $prev$ ，最终的 $f[s]$ 为「所有合法的 $prev$ 的状态数 $f[prev]$ 」与「数值 $t$ 的出现次数 $cnts[t]$ 」的乘积之和。

需要注意的是，由于我们是从范围 $[2, 30]$ 范围内从前往后考虑每个 $t$ ，因此在枚举 $prev$ 时需要进行倒序遍历，确保计算 $f[s]$ 所依赖的 $f[prev]$ 为不考虑当前数值 $t$ 时的方案数。

由「质数 $p$ 组成的好子集方案数」为 $ans = \sum_{state' = 1}^{{1 << 10}} f[state']$ ，其中 $state'$ 对应一个合法的好子集方案。

在此基础上，再考虑数值 $1$ 对答案的影响：在每个合法的 $state'$ 前提下，增加若干个 $1$ 并不影响子集乘积（即好子集增加 $1$ 后仍为好子集），因此每个合法子集 $state'$ 可以对应出 $2^{cnts[1]}$ 个具体方案（代表每个 $1$ 即可以选，也可以不选）。

代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    int[] p = new int[]{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
    int[] cnts = new int[35];
    public int numberOfGoodSubsets(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        for (int i : nums) cnts[i]++;
        int mask = 1 << 10;
        long[] f = new long[mask];
        f[0] = 1;
        for (int i = 2; i <= 30; i++) {
            if (cnts[i] == 0) continue;
            // 对 i 进行试除
            int cur = 0, x = i;
            boolean ok = true;
            for (int j = 0; j < 10; j++) {
                int t = p[j], c = 0;
                while (x % t == 0) {
                    cur |= (1 << j);
                    x /= t; c++;
                }
                // 如果 i 能够被同一质数试除多次，说明 i 不能加到子集，跳过
                if (c > 1) { 
                    ok = false;
                    break;
                }
            }
            if (!ok) continue;
            // 枚举前一状态 prev
            //（确保考虑一个新数值 i 时，依赖的子集 prev 存储的为尚未考虑 i 的方案数）
            for (int prev = mask - 1; prev >= 0; prev--) {
                // 只有当前选择数与前一状态不冲突，则能够进行转移，将方案数进行累加
                if ((prev & cur) != 0) continue;
                f[prev | cur] = (f[prev | cur] + f[prev] * cnts[i]) % MOD;
            }
        }
        long ans = 0;
        // 统计所有非空集的方案数
        for (int i = 1; i < mask; i++) ans = (ans + f[i]) % MOD;
        // 在此基础上，考虑每个 1 选择与否对答案的影响
        for (int i = 0; i < cnts[1]; i++) ans = ans * 2 % MOD;
        return (int) ans;
    }
}
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时间复杂度：预处理每个数值的出现次数复杂度为 $O(n)$ ；令数值范围 $C = 30$ ，状态数为 $M = 1024$ ，DP 部分复杂度为 $O(C * M)$ 。整体复杂度为 $O(n + C * M)$
空间复杂度： $O(C + M)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1994 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

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