【每日一题】1994.好子集的数目

题目来源：LeetCode
原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/myI7_ZwJM7kizrwUtWgAZQ
难度级别：困难

题目描述

给你一个整数数组 nums。如果 nums 的一个子集中，所有元素的乘积可以表示为一个或多个 互不相同的质数 的乘积，那么我们称它为 好子集。

• 比方说，如果 nums = [1, 2, 3, 4] ：
• [2, 3] ，[1, 2, 3] 和 [1, 3] 是 好 子集，乘积分别为 $6=2\times 3$ ，$6=2\times 3$ 和 3 = 3 。
• [1, 4] 和 [4] 不是 好 子集，因为乘积分别为 $4=2\times 2$ 和 $4=2\times 2$ 。

请你返回 nums 中不同的 好 子集的数目对 $10^9+7$ 取余 的结果。

nums 中的 子集 是通过删除 nums 中一些（可能一个都不删除，也可能全部都删除）元素后剩余元素组成的数组。如果两个子集删除的下标不同，那么它们被视为不同的子集。

示例1：

输入：nums = [1,2,3,4]
输出：6
解释：好子集为：
- [1,2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
- [1,2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同的质数 2 和 3 的乘积。
- [1,3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。
- [2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
- [2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同的质数 2 和 3 的乘积。
- [3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。

示例2：

输入：nums = [4,2,3,15]
输出：5
解释：好子集为：
- [2]：乘积为 2 ，可以表示为质数 2 的乘积。
- [2,3]：乘积为 6 ，可以表示为互不相同质数 2 和 3 的乘积。
- [2,15]：乘积为 30 ，可以表示为互不相同质数 2，3 和 5 的乘积。
- [3]：乘积为 3 ，可以表示为质数 3 的乘积。
- [15]：乘积为 15 ，可以表示为互不相同质数 3 和 5 的乘积。

提示：

• $1<=nums.length<=10^5$
• $1<=nums[i]<=30$

解决方案：状态压缩+动态规划

题目乍看毫无头绪，但是仔细阅读之后，发现规定数组nums中的元素不超过30，因此可以将[1,30]中的整数分成如下三类：

• 对于任意一个好子集来说，添加任意数目的1，得到的新子集仍然是好子集；
• 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30：这些数均不包含平方因子，因此每个数在好子集中至多出现一次；
• 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28：这些数包含平方因子，因此一定不能在好子集中出现。

首先，通过硬编码的方式把[1,30]中的整数按照上述分类，也可以先预处理出所有[1,30]中质数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29，再通过试除的方式动态分类。

分类完成后，就可以考虑使用动态规划了。由于每个质因数只能出现一次，并且[1, 30]中一共有10个质数，因此可以用一个长度为10的二进制数mask表示这些质因数的使用情况，其中mask的第 i 位为1，表示第 i 个质数已经被使用过了。

因此，定义$f[i][mask]$表示只选择[2,i]范围内的数，并且选择的数的质因数使用情况为mask时的方案数。

• 如果 i 本身包含平方因子，那么无法选择 i , 相当于在[2, i-1]范围内选择，状态转移方程为$$f[i][mask]=f[i-1][mask]$$
• 如果 i 本身不包含平方因子，记其包含的质因子的二进制表示为subset（同样可以通过试除的方法得到），那么状态转移方程为$$\begin{gathered} f[i][mask]=f[i-1][mask]+f[i-1][mask \\ subset]\times freq[i] \end{gathered}$$其中：
  • freq[i]表示数组nums中 i 出现的次数；
  • mask\subset表示从二进制表示mask中去除所有在subset中出现的1，可以使用按位异或运算实现。这里需要保证subset是mask的子集，可以使用按位与运算来判断。

动态规划的边界条件为：$$f[1][0]=2freq[1]$$即每一个在数组nums中出现的1都可以选或者不选。最终的答案即为所有$f[30][..]$中除了$f[30][0]$以外的项的总和。

细节
注意到$f[i][mask]$只会从$f[i-1][..]$转移而来，并且$f[i-1][..]$中的下标总是小于mask，因此我们可以使用类似0-1背包的空间优化方法，在遍历mask时从$2^{1}0-1$到1逆序遍历，这样就只需要使用一个长度为$2^{1}0$的一维数组做状态转移了。

代码：Python

#!/usr/bin/env python
from collections import Counter
from typing import List


# Hard level
class Solution:
    # 状态压缩动态规划
    def numberOfGoodSubsets(self, nums: List[int]) -> int:
        primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]
        mod = 10 ** 9 + 7

        freq = Counter(nums)
        f = [0] * (1 << len(primes))
        f[0] = pow(2, freq[1], mod)

        for i, occ in freq.items():
            if i == 1:
                continue

            # 检查 i 的每个质因数是否均不超过 1 个
            subset, x = 0, i
            check = True
            for j, prime in enumerate(primes):
                if x % (prime * prime) == 0:
                    check = False
                    break
                if x % prime == 0:
                    subset |= (1 << j)

            if not check:
                continue

            # 动态规划
            for mask in range((1 << len(primes)) - 1, 0, -1):
                if (mask & subset) == subset:
                    f[mask] = (f[mask] + f[mask ^ subset] * occ) % mod

        ans = sum(f[1:]) % mod
        return ans


if __name__ == '__main__':
    today = Solution()
    nums = list(map(int, input('nums = ').strip().split(',')))
    print(today.numberOfGoodSubsets(nums))

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n+C\times O(2\pi (C))$。其中 n 是数组 nums 的长度，C 是 nums 元素的最大值，在本题中 C = 30，π(x) 表示 ≤x 的质数的个数。
  • 一共需要考虑$O(C)$个数，每个数需要$O(2\pi (C))$的时间计算动态规划；
  • 在初始时需要遍历一遍所有的数，时间复杂度为$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(2\pi (C))$，即为动态规划需要使用的空间。