考研之数据结构018_平衡二叉树（AVL）

考试重点（选择题）：
1.我们在二叉排序树中，插入一个新结点之后，怎么保证这棵树依然是“平衡二叉树”。
2.高为h的平衡二叉树，最少有几个结点——递推求解

一、定义

平衡二叉树，简称平衡树（AVL树）： 树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
ps:AVL是平衡树 ——ASL是：平均查找长度 =》不要混淆。

结点的平衡因子某结点的左子树高-右子树高
二叉树是平衡的话，各个结点的平衡银子只能是：“-1,0,1”。
例如：如下图，50根节点，左子树高度是2，而右子树高度为3.所以：结点的平衡银子=左子树2-右子树3=-1

让一颗二叉排序树保持平衡，就可以保证查找效率：log2n

二、插入操作

在我们插入一个新结点后，如何保持二叉树的平衡？
方法：我们可以从新插入的结点开始往上找，找到第一个不平衡的结点，进行调整以该结点为根的子树——最小不平衡子树。
最小不平衡子树：最小的结点的左右子树高度相差大于1

三、插入后调整“不平衡”问题

在插入操作中，只要将最小不平衡树调整平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡。
二叉排序树的特性：
左子树结点值< 根节点的值 < 右子树结点的值
目标：
1.插入新结点后，恢复平衡
2.保持二叉排序树的特性。

1.LL左孩子左子树平衡旋转（右单旋转）

由于结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，A的平衡因子从1增2，导致A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作：
将A的左孩子B向右上旋转代替A称为根节点，将A结点向右下旋转称为B的右子树的根节点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。

自己简述：
在调整LL最小不平衡子树中，让目前根的左子树B结点成为根节点，并让左子树的右子树BR，成为原根A结点的左子树。（原根节点A，之前左子树是B，现在A成了根节点B的右子树了）

1.LL代码：

f是指向原根节点
P指向根节点的左子树



f->lchild=p->rchild;
B的右子树，成为A结点的左子树。 
下一步是为了，让A结点成为B结点的右子树

p->rchild=f
A结点变成B的右孩子。
是因为F存放的是原根节点A的地址，现在将F的值赋值给B的右孩子了。
也就是说B的右孩子是A

gf->lchild/rchild=p
A的父结点原本指向A的孩子指针，指向P（也就是B）
也就是将根节点的上一结点指向根节点。
。从而B成了根节点

2.RR右孩子右子树平衡旋转（左单旋转）

RR 平衡旋转（左单旋转）。由于结点A的右孩子（R）的右子树（R）上插入了新结点，高度有-1变-2了，导致了A为根的子树失去了平衡，需要一次向左的旋转操作。将A根节点的右孩子B向左上旋转，代替A称为根节点。将A向左下旋转成为B的左孩子，将之前B的左子树，变成A的右子树
自己叙述：
在调整RR最小不平衡子树中，让目前根节点A的右子树成为根节点，现在B成为了根节点。再让B的右子树的左子树，成为现在根节点的左子树A结点的右子树。

1.RR代码：

不平衡之前
A是：根节点
B是：根节点A的右孩子

变平衡：
将B的左孩子变为A的右孩子，让A结点变成B的左孩子，在修改A的父结点指针，指向B结点。
（是因为根节点之前是A ，现在根节点是B。让父结点从A变成B）

平衡之后
B是：根节点
A是：根节点B的左孩子

3.LR左孩子右子树平衡旋转（ 旋转）

C结点就是  根节点的左子树的右孩子

先让C结点左旋转，顶替B的位置，
再让C结点在进行一个右上旋转。
替换A的位置。
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首先是C左旋替换B的位置，然后B变成C的左孩子。
然后是C右旋替换A的位置，然后C的右孩子变成A的左孩子。
从而：A变成C的右孩子

4.RL右孩子的左子树平衡旋转（旋转）

先让C结点，右旋转顶替B，在左旋顶替A
--
右旋顶替B：
C的右孩子，成为B的左孩子。
C的右子树，成为B

左旋顶替A：
先让C的左子树，成为A的右子树。
再让C的左子树，成为A

5.练习：调整完以后，一定验算是否符合左中右依次递增。

1.

2.

3.

将60结点的左子树，交给他的父结点的右子树。
将60结点的右子树，交给他的爷结点的左子树。

四、查找效率分析

假设nh表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数。

n1= 1
n2= 1+n1= =2
n3= n2+n1+1 =4
n4= n3+n2+1 =7
n5= n4+n3+1 = 7+4+1=12

平均查找长度（查找的时间复杂度）和树高是同一个数量级。