【数据结构与算法】平衡二叉树之AVL树的介绍和程序实现

1. 二叉排序树的问题

将一个数列{1, 2, 3, 4, 5, 6}，创建一颗二叉排序树，如下所示

可以看到存在如下问题：

• 左子树全部为空，更像一个单链表
• 因为需要依次比较，而且每次还需要比较左子树，查询速度比单链表还慢

2. 平衡二叉树的介绍

平衡二叉树(平衡二叉搜索树、Self-balancing binary search tree、AVL树)可以保证较高的查询效率。

特点：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树也是一棵平衡二叉树，即子树递归下去也是平衡二叉树

如下的第1个和第2个是平衡二叉树，第3个不是平衡二叉树

平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL树、替罪羊树、Treap树、伸展树等

2. AVL树之左旋转

在二叉排序树添加节点后，如果右子树比左子树的高度差大于1，则需要进行左旋转

例如对于数列{4, 3, 6, 5, 7}创建的二叉排序树，当添加值为8的节点时，右子树比左子树的高度差大于1，如下所示

所以需要进行左旋转，步骤如下：

1. 创建一个新的节点newNode, newNode的值等于当前节点的值。这里的当前节点为root节点
2. 将newNode的左子节点设置为当前节点的左子节点，即newNode.left = left
3. 将newNode的右子节点设置为当前节点的右子节点的左子节点，即newNode.right = right.left
4. 将当前节点的值换成右子节点的值，即value = right.value
5. 将当前节点的右子节点设置为当前节点的右子节点的右子节点，即right = right.right
6. 将当前节点的左子节点设置为newNode，即left = newNode

左旋转完成后的结果如下：

左旋转需求：将数列{4, 3, 6, 5, 7, 8}，创建出一颗平衡二叉树

3. AVL树之右旋转

在二叉排序树添加节点后，如果左子树比右子树的高度差大于1，则需要进行右旋转

例如对于数列{10, 12, 8, 9, 7}创建的二叉排序树，当添加值为6的节点时，左子树比右子树的高度差大于1，如下所示

所以需要进行右旋转，步骤如下：

1. 创建一个新的节点newNode, newNode的值等于当前节点的值。这里的当前节点为root节点
2. 将newNode的右子节点设置为当前节点的右子节点，即newNode.right = right
3. 将newNode的左子节点设置为当前节点的左子节点的右子节点，即newNode.left = left.right
4. 将当前节点的值换成左子节点的值，即value = left.value
5. 将当前节点的左子节点设置为当前节点的左子节点的左子节点，即left = left.left
6. 将当前节点的右子节点设置为newNode，即right = newNode

右旋转完成后的结果如下：

右旋转需求：将数列{10, 12, 8, 9, 7, 6}，创建出一颗平衡二叉树

4. AVL树之双旋转

某些情况下，单旋转并不能转换成平衡二叉树。比如数列{10, 11, 7, 6, 8, 9}和{2,1, 6, 5, 7, 3}

例如将数列{10, 11, 7, 6, 8, 9}创建的二叉排序树，进行右旋转，得到的结果如下：

右旋转问题的解决办法：
如果当前节点的左子节点的右子树高度，大于当前节点的左子节点的左子树的高度，需要先对当前节点的左子树进行左旋转，再对当前节点进行右旋转

同理，左旋转问题的解决办法：
如果当前节点的右子节点的左子树高度，大于当前节点的右子节点的右子树的高度，需要先对当前节点的右子树进行右旋转，再对当前节点进行左旋转

5. AVL树之左旋转、右旋转、双旋转程序实现

程序如下：

public class AVLTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {

        // 左旋转测试数组
        int[] leftRotateArray = {4, 3, 6, 5, 7, 8};
        // 右旋转测试数组
        int[] rightRotateArray = {10, 12, 8, 9, 7, 6};
        // 双旋转测试数组(先右旋转，再左旋转)
        int[] bothRotateArray1 = {2, 1, 6, 5, 7, 3};
        // 双旋转测试数组(先左旋转，再右旋转)
        int[] bothRotateArray2 = {10, 11, 7, 6, 8, 9};

        // >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>旋转测试>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
        // 不同的旋转测试，就换成不同的数组
        int[] rotateArray = bothRotateArray2;
        // 创建AVLTree对象
        AVLTree rotateAvlTree = new AVLTree();
        // 添加节点
        for (int i = 0; i < rotateArray.length; i++) {
            rotateAvlTree.add(new Node(rotateArray[i]));
        }

        // 中序遍历
        System.out.println("旋转后进行中序遍历：");
        rotateAvlTree.infixOrder();

        System.out.println("旋转后树的高度 = " + rotateAvlTree.root.height());
        System.out.println("旋转后root的左子树高度 = " + rotateAvlTree.root.leftNodeHeight());
        System.out.println("旋转后root的右子树高度 = " + rotateAvlTree.root.rightNodeHeight());
        System.out.println("当前的root节点 = " + rotateAvlTree.root);
    }
}


// 创建Node节点
class Node {
    int value;
    Node left;
    Node right;

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node [value = " + value + "]";
    }

    // 计算以当前节点为root节点的树的高度
    public int height() {
        return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
    }

    // 计算当前节点的左子树的高度
    public int leftNodeHeight() {
        if (left == null) {
            return 0;
        } else {
            return left.height();
        }

    }

    // 计算当前节点的右子树的高度
    public int rightNodeHeight() {
        if (right == null) {
            return 0;
        } else {
            return right.height();
        }
    }

    // 左旋转实现
    private void leftRotate() {
        Node newNode = new Node(value);
        newNode.left = left;
        newNode.right = right.left;
        value = right.value;
        right = right.right;
        left = newNode;
    }

    // 右旋转实现
    private void rightRotate() {
        Node newNode = new Node(value);
        newNode.right = right;
        newNode.left = left.right;
        value = left.value;
        left = left.left;
        right = newNode;
    }


    // 添加节点的方法
    public void add(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        } else {

            // 如果node的值，比当前节点的值小，则向左处理
            if (node.value < this.value) {
                if (this.left == null) {
                    this.left = node;
                } else {
                    // 向左递归添加节点
                    this.left.add(node);
                }
                // 如果node的值，大于等于当前节点的值，则向右处理
            } else {
                if (this.right == null) {
                    this.right = node;
                } else {
                    // 向右递归添加节点
                    this.right.add(node);
                }

            }

            // 当添加完一个节点后，如果(右子树的高度-左子树的高度) > 1, 进行左旋转
            if ((rightNodeHeight() - leftNodeHeight()) > 1) {
                // 如果当前节点的右子节点的左子树高度，大于当前节点的右子节点的右子树的高度
                // 需要先对当前节点的右子树进行右旋转，再对当前节点进行左旋转
                if (right != null && right.leftNodeHeight() > right.rightNodeHeight()) {
                    right.rightRotate();
                    leftRotate();
                } else {
                    leftRotate();
                }
                // 当添加完一个节点后，如果(左子树的高度-右子树的高度) > 1, 进行右旋转
            } else if ((leftNodeHeight() - rightNodeHeight()) > 1) {
                // 如果当前节点的左子节点的右子树高度，大于当前节点的左子节点的左子树的高度
                // 需要先对当前节点的左子树进行左旋转，再对当前节点进行右旋转
                if (left != null && left.rightNodeHeight() > left.leftNodeHeight()) {
                    left.leftRotate();
                    rightRotate();
                } else {
                    rightRotate();
                }
            }
        }
    }

    // 中序遍历实现
    public void infixOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        System.out.println(this);
        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    // 查找要删除的结点
    public Node searchDeleteNode(int value) {
        if (value == this.value) {
            return this;
            // 如果值，比当前节点的值小，则向左处理
        } else if (value < this.value) {
            if (this.left == null) {
                return null;
            } else {
                return this.left.searchDeleteNode(value);
            }
            // 如果值，大于等于当前节点的值，则向右处理
        } else {
            if (this.right == null) {
                return null;
            } else {
                return this.right.searchDeleteNode(value);
            }
        }
    }


    // 查找要删除节点的父节点
    public Node searchDeleteParentNode(int value) {
        // 如果当前结点左子节点或右子节点是要删除的节点，则返回当前节点
        if ((this.left != null && this.left.value == value) ||
                (this.right != null && this.right.value == value)) {
            return this;
        } else {
            // 如果当前节点不是，则递归向左子节点进行查找
            if (value < this.value && this.left != null) {
                return this.left.searchDeleteParentNode(value);
                // 再递归向右子节点进行查找
            } else if (value >= this.value && this.right != null) {
                return this.right.searchDeleteParentNode(value); //向右子树递归查找
            } else {
                // 如果不能向左右子节点递归，则返回null
                return null;
            }
        }

    }

}

// 创建AVL树
class AVLTree {
    public Node root;

    // 添加节点的方法
    public void add(Node node) {
        if (root == null) {
            root = node;
        } else {
            root.add(node);
        }
    }

    // 中序遍历实现
    public void infixOrder() {
        if (root != null) {
            root.infixOrder();
        } else {
            System.out.println("AVL树为空，不能遍历");
        }
    }

    // 查找要删除的结点
    public Node searchDeleteNode(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.searchDeleteNode(value);
        }
    }

    // 查找要删除节点的父节点
    public Node searchDeleteParentNode(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.searchDeleteParentNode(value);
        }
    }


    // 传入右子树，删除该子树的最小值节点，然后返回最小值节点的值
    public int delRightTreeMinNode(Node node) {
        Node target = node;
        // 循环查找左子节点，就会找到最小值
        while (target.left != null) {
            target = target.left;
        }
        // 这时target就是最小值节点
        deleteNode(target.value);

        return target.value;
    }


    // 删除节点实现
    public void deleteNode(int value) {
        if (root == null) {
            return;
        } else {
            // 找到要删除的节点targetNode
            Node targetNode = searchDeleteNode(value);
            // 如果没有找到要删除的节点
            if (targetNode == null) {
                return;
            } else {
                // 如果找到节点，且AVL树只有root这一个节点，则直接删除root节点
                if (root.left == null && root.right == null) {
                    root = null;
                    return;
                } else {
                    // 找到targetNode的父节点parentNode
                    Node parentNode = searchDeleteParentNode(value);
                    // 第一种情况：删除叶子节点
                    if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
                        // 如果targetNode是parentNode的左子节点，则parentNode.left = null
                        if (parentNode.left != null && parentNode.left.value == value) {
                            parentNode.left = null;
                            // 如果targetNode是parentNode的右子节点，则parentNode.right = null
                        } else if (parentNode.right != null && parentNode.right.value == value) {
                            parentNode.right = null;
                        }
                        // 第二种情况：删除有两颗子树的节点
                        // 如果删除的是root节点，parentNode为null也不影响
                    } else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {
                        int minVal = delRightTreeMinNode(targetNode.right);
                        targetNode.value = minVal;
                        // 第三种情况：删除只有一颗子树的节点
                    } else {
                        // 如果targetNode的子树是左子节点
                        if (targetNode.left != null) {
                            if (parentNode != null) {
                                // 如果targetNode是parentNode的左子节点
                                if (parentNode.left.value == value) {
                                    parentNode.left = targetNode.left;
                                } else {
                                    // 如果targetNode是parentNode的右子节点
                                    parentNode.right = targetNode.left;
                                }
                                // 如果要删除的是root节点，且root节点只有左子树
                            } else {
                                root = targetNode.left;
                            }
                            // 如果targetNode的子树是右子节点
                        } else {
                            if (parentNode != null) {
                                // 如果targetNode是parentNode的左子节点
                                if (parentNode.left.value == value) {
                                    parentNode.left = targetNode.right;
                                } else {
                                    // 如果targetNode是parentNode的右子节点
                                    parentNode.right = targetNode.right;
                                }
                            } else {
                                // 如果要删除的是root节点，且root节点只有右子树
                                root = targetNode.right;
                            }
                        }

                    }
                }
            }

        }
    }

}

运行程序，结果如下：

旋转后进行中序遍历：
Node [value = 6]
Node [value = 7]
Node [value = 8]
Node [value = 9]
Node [value = 10]
Node [value = 11]
旋转后树的高度 = 3
旋转后root的左子树高度 = 2
旋转后root的右子树高度 = 2
当前的root节点 = Node [value = 8]