数据结构之AVL树(平衡二叉树)

什么叫AVL树平衡二叉树？

说到这个问题我们先说说二叉排序树它也叫二叉搜索树，它解决数组和链表集合遍历和插入所有优势。但是假如我们是一个这样的树你觉得它的效率还会很高吗？
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如上图中这样一棵搜索它的效率显然不高，因为除了7 其他的几个数字就类似一个链表。就因为这样的情况，所以平衡二叉树就诞生了，它是为了解决极限情况下，树的搜索效率低下的问题。
那么什么样的树才叫平衡二叉树呢？
作为一个平衡二叉树必须满足下面两个条件：

它必须是二叉查找树；
每个节点的左子树和右子树的高度差至多为1。

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看看上面四个树，那些满足平衡二叉树呢？
左上图：58 和 88 不满足左右子树高度最大不超过1
右上图：全部满足
左下图：58不满足
右下图：全部满足

平衡因子和最小不平衡子树

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**平衡因子：**将二叉树上节点的左子树高度减去右子树高度的值称为该节点的平衡因子BF
如上4号图中，我们生成了一个平衡二叉树，那么它每个节点的平衡因子是多少呢？
答案是所有节点平衡因子等于0
那么在没有转换成平衡二叉树之前呢？
1的平衡因子是0
2的平衡因子是1
3的平衡因子是2
4的平衡因子是3
5的平衡因子是4
6的平衡因子是4
7的平衡因子是0
最小不平衡子树： 距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树
如上图中 1 2 3号图中的虚线方框中的子树，就称之为最小不平衡子树

旋转建平衡二叉树

左旋右旋操作

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左旋规律就是目标节点（X）的右子树节点（Y）的左子树（β）要作为目标节点（X）右子节点树

右旋规律是把目标节点（Y）的左子树（X）的右子树节点（β）移到目标节点（Y）的左子树节点上
注意： 上面的左旋和右旋规则，非常重要，它是平衡二叉树进行建树的思路基础。

平衡操作

当一个树的节点左边或者右边出现最小不平衡子树时，我们需要对这个最小不平衡子树进行左旋右旋或者左旋加右旋操作使得树最后成为平衡二叉树。

左平衡操作

即结点t的不平衡是因为左子树过深

如果新的结点插入到t的左孩子的左子树中，则直接进行右旋操作即可

注意发现规律，t节点右旋，所以t节点的左子树的右节点被移到了目标节点的左边。
如果新的结点插入到t的左孩子的右子树中，则需要进行分情况讨论
- 情况a：当t的左孩子的右子树根节点的balance = RIGHT_HIGH
  
  同样的规律，第二步旋转中的 t节点右旋，所以t节点的左子树的右节点被移到了目标节点的左边。
- 情况b：当t的左孩子的右子树根节点的balance = LEFT_HIGH
  
  左旋规律 tl左旋，所以他的右子节点的左子树 5 要被移到目标节点 tl 的右子树上
  
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右平衡操作

即结点t的不平衡是因为右子树过深

如果新的结点插入到t的右孩子的右子树中，则直接进行左旋操作即可

对t进行左旋所以目标节点t的右子节点的左子树 trl 在旋转完成以后，会被移到目标节点t 的右子节点上
如果新的结点插入到t的右孩子的左子树中，则需要进行分情况讨论
- 情况a：当t的右孩子的左子树根节点的balance = LEFT_HIGH
  
  同样的规律，在第二步旋转中，对目标节点 t进行左旋，我们需要把 t 的右子节点的左子树移到t的右节点上。
- 情况b：当t的右孩子的左子树根节点的balance = RIGHT_HIGH
  
  对目标节点 tr进行右旋，我们需要把目标节点tr 的左子节点的右子树，移到目标节点tr 的左子节点上。