Cow Cash G （动态规划 完全背包）

题目大意：

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解题思路：

这似乎是一道很好的爆搜题，但是我们还是得跟着那句老话走

能用动态规划就别用别的

动态规划，AC可以变得很神奇，但是思考状态转移的时候真的可以让人脑袋爆掉！！

那么切回正题，这题怎么做？
看到货币可以无限使用，那么不难发现这是一道类似于完全背包的动规了

首先设定状态，我们将 $i$的方案数表示为 $d{p}_i$。接下来，我们考虑阶段——设我们为了组合出$i$，我们选择一张面值为 $a_i$ 的货币来尝试组合，那么他的方案数变成了 $d{p}_{i-a_i}$，如果选择用面值为 $a_{i+1}$ 的货币来尝试组合 $i$ ,那么方案数就变成了 $d{p}_{i-a_{i+1}}$ ……

一直这么下去，方程不就出来了吗？

$d{p}_i+=d{p}_{i-a_i}$

接下来，我们解决最后一个问题，$dp$ 数组的初始状态是什么？
因为 $d{p}_i$ 表示 $i$ 的方案数，所有我们可以自然而然的从 $d{p}_0$ 开始思考初始状态——我们也能自然而然的认为 $d{p}_0$ 的初值是0——也正是因为这个错误，我整个程序崩了，甚至让我以为是我的转移方程推错了！！

不要只记得状态转移方程，初值的问题也值得我们重视

我们可以选择换一个思路理考货币所组成的价钱：
例如：
组成一个 18 单位面值的货币可以是这样的：8×2+2×1
其实我们可以在这条分解式后面再加一个虚无的货币面值：8×2+2×1 + 0
或许有人会问，+0和不+0的面值都是一致的，那么这么做有什么意义？其实不然，我们可以这么理解这个 0，把他看成一个没有面值的货币。什么意思呢？就是 0 其实是一种货币，只不过没有面值而已。是的，我们要把 0 看成一种实际存在的货币。

然后我们再回到 $d{p}_0$ 初值的问题，0这个单位面值无法用任何正常的货币构成，因此我一开始也认为 $d{p}_0$ 就是0，但是现在我们拥有了 货币0 这种假想，所以我们目前的 $d{p}_0$ 的构成情况应该是这样的：

$d{p}_0=1\times 0$ （注意了，这里的0表示的是一种面值为0的货币！！）

现在我们发现，$d{p}_0$ 其实是有一种构成方案的，也就是说 $d{p}_0$ 实际上应该等于1，因为有一种假想型的 0 货币可以构成它。而 0 这种特殊货币的存在也不会破坏其他 $d{p}_i$ 的答案，也就是说哪怕有了新的货币0，构成 $i$ 的可行方案依旧是 $d{p}_i$ 种，不会因为 0 的出现而增多或减少。
这种种现象都证明，$d{p}_0=1$是可行的。

但是，我之前不是说过 $d{p}_0=0$吗？这就矛盾了呀！很简单，我之前说的是错的呗。

推敲出了 $d{p}_0=1$ 这个堪比状态转移方程的大条件，一切困难都迎刃而解。

CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
long long n,v,a[1100];
long long dp[101000]={
    
    0};
void input()
{
    
    
	cin>>n>>v;
	for(int i=0;i<n;i++)
	  cin>>a[i];
}

void DP()
{
    
    
	dp[0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
	  {
    
    
	  	for(int j=a[i];j<=v;j++)
	  	  dp[j]+=dp[j-a[i]];  //用完全背包的思路来实现状态转移方程
	  }
	cout<<dp[v];
}

int main()
{
    
    
	input();
	DP();
	return 0;
} 

总结：

蓦然回首，我们对动态规划的研究都集中在状态转移方程，对初始值的重视依旧不够，通过这道题，它告诉我们，初值确实重要