杂识-线性插值

线性插值

线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式。
线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。

一次线性插值（线性插值）

一维度上的波形，或者在函数上离散的点求中间点y的值时，使用线性插值就是通过两个点之间的间距比例，从两个点的y值比例计算得到目标y值，就是一次线性插值了；
设p1坐标为(x1,y1)，p2坐标为(x2,y2)，要求x=c时的y值；
则结果为：
$$y=\frac{y2-y1}{x2-x1}\times \left(c-x1\right)+y1$$
$$\begin{gathered} y=\frac{y2-y1}{x2-x1}\times \left(c-x1\right)+y1 \\ =\frac{c-x1}{x2-x1}\times y2+\frac{c-x1}{x2-x1}\times (-y1)+y1 \\ =\frac{c-x1}{x2-x1}\times y2+\frac{x1-c+x2-x1}{x2-x1}\times y1 \\ =\frac{x2-c}{x2-x1}\times y1+\frac{c-x1}{x2-x1}\times y2 \end{gathered}$$

双线性插值（二次线性插值）

之前的一次线性插值是根据一维度x方向去求得y值；双线性插值的场景是使用两个维度指向的值；
双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。
双线性插值作为数值分析中的一种插值算法，广泛应用在信号处理，数字图像和视频处理等方面。

已知C1点、C2点、C3点、C4点的值分别为z1、z2、z3、z4，求点C的值；
先在x维度上根据一次线性插值的原理计算出C12和C34的对应的值；
计算C12的值的公式为$y=\frac{z2-z1}{x2-x1}\times \left(c-x1\right)+z1$;
再在y维度上根据一次线性插值，由C12和C34的对应的值计算得到点C的值，同样也是使用一次线性插值；

下面这张图就是先计算出Z1和Z2，然后再计算出Z;

线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行y方向的插值，然后进行x方向的插值，所得到的结果是一样的。双线性插值的结果与先进行哪个方向的插值无关。
使用双线性插值对图像进行缩放，缩放后的图像质量高，不会出现像素值不连续的情况，但是计算量很大，而且由于双线性插值具有低通滤波器的性质，会使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊；
双线性插值法适用于旋转变换、错切变换、一般线性变换和非线性变换都使用；

三线性插值（三次线性插值）

同双线性插值，三线性插值是在三个维度上的线性插值；

如果要计算C点的值；
1.计算C001与C011线段与绿色线的交点；计算C100与C110线段与绿色线的交点；使用的是线性插值；
2.计算C点在平面C001-C101-C111-011上的投影点，也就是紫色线与绿色线的交点；使用的是线性插值；
3.两个紫色线与绿色线的交点计算C点的值；使用的是线性插值；

参考资料

1.https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%8F%92%E5%80%BC/19113392?fr=aladdin