[XSY3343] 程序锁（DP）

XSY3343

先考虑如何判定一个填好的序列会不会gg：
若$\exists p,q,使s^{\prime }[p+1]=t^{\prime }[q+1]=-1$且${\sum }_{i=1}^p{s}^{\prime }[i]+{\sum }_{j=1}^q{t}^{\prime }[j]\le 0$，则这个序列必gg。

那么我们只需找到 s u m s ′ = m i n s ′ [ p + 1 ] = − 1 { ∑ i = 1 p s ′ [ i ] } sum_{s'}=min_{s'[p+1]=-1}\{\sum_{i=1}^{p}s'[i]\} sums′​=mins′[p+1]=−1​{ ∑i=1p​s′[i]}， s u m t ′ = m i n t ′ [ q + 1 ] = − 1 { ∑ j = 1 q t ′ [ j ] } sum_{t'}=min_{t'[q+1]=-1}\{\sum_{j=1}^{q}t'[j]\} sumt′​=mint′[q+1]=−1​{ ∑j=1q​t′[j]}，判断$su{m}_{s^{\prime }}+su{m}_{t^{\prime }}$是否$\le 0$即可判断序列会不会gg。

为了方便，我们稍微转换一下条件，把$s^{\prime }[p+1],t^{\prime }[q+1]$也纳入$su{m}_{s^{\prime }},su{m}_{t^{\prime }}$中，即定义：
s u m s ′ = m i n s ′ [ p ] = − 1 { ∑ i = 1 p s ′ [ i ] } sum_{s'}=min_{s'[p]=-1}\{\sum_{i=1}^{p}s'[i]\} sums′​=mins′[p]=−1​{ i=1∑p​s′[i]}
特别地，若$s^{\prime }[]$全为1，$su{m}_{s^{\prime }}={\sum }_{i=1}^{|s^{\prime }|}{s}^{\prime }[i]$
s u m t ′ = m i n t ′ [ q ] = − 1 { ∑ i = 1 q t ′ [ i ] } sum_{t'}=min_{t'[q]=-1}\{\sum_{i=1}^{q}t'[i]\} sumt′​=mint′[q]=−1​{ i=1∑q​t′[i]}
特别地，若$t^{\prime }[]$全为1，$su{m}_{t^{\prime }}={\sum }_{i=1}^{|t^{\prime }|}{t}^{\prime }[i]$

那么如果$s^{\prime }[],t^{\prime }[]$都不全为1，
有若$su{m}_{s^{\prime }}+su{m}_{t^{\prime }}\le -2$，则序列必gg。
也即若$su{m}_{s^{\prime }}+su{m}_{t^{\prime }}\ge -1$，序列一定不会gg。

否则，若$su{m}_{s^{\prime }}+su{m}_{t^{\prime }}\ge 0$，序列一定不会gg。

然后考虑DP，正着DP很困难，考虑倒着DP，这样每次只会增加一个小前缀。

设$f_{i,j,k}$表示填完$[i,n]$，这些位置相对于$i$的前缀和中，以$-1$结尾的最小前缀和$=j$的方案数，$k$表示$j$是否等于总和

如果$i-1$位可以填$1$，那么有$f_{i,j,0}\to f_{i-1,j+1,0},f_{i,j,1}\to f_{i-1,j+1,1}$，因为在最前面加一个$1$并不改变原来的最小前缀和

如果$i-1$位可以填$-1$，那么有$f_{i,j,0}\to f_{i-1,\min (-1,j-1),0},f_{i,j,1}\to f_{i-1,\min (-1,j-1),[j\le 0]}$，因为增加了一个值为$-1$的前缀和，所以原来$j>0$且最小前缀和$=j$的方案会变为最小前缀和$=-1\ne j-1$

对两个序列分别DP后直接统计答案即可

总结：
倒着DP 和 对$s^{\prime },t^{\prime }$两个序列分别DP 这两点太巧妙了%%%