[CSA35G][XSY3318]Counting Quests （DP）

XSY3318
CSA35G
对于一个询问区间的集合$S$，求出每一个数被哪些区间覆盖了，记为$S_i$。
要能保证猜出选中数，当且仅当每个数的$S_i$互不相同。
考虑求出不满足要求的集合$S$的个数。

首先可以观察得到$S_i$的一个性质：若$a<b<c<d$且$S_a=S_c,S_b=S_d$，则必有$S_a=S_b=S_c=S_d$。

证明：因为$S_a=S_c$，所以如果一个区间覆盖了$a$，一定也覆盖了$c$，那么这个区间一定也覆盖了$b$，又因为$S_b=S_d$，所以该区间一定也覆盖了$d$。同理可证覆盖了$b$或$c$或$d$的区间一定也覆盖了其它三个数。

我们给每个数一个编号$a_i$，满足当且仅当$S_i$相同的数$a_i$相同。

由刚才的性质我们知道，不同的$a$值的排布 只可能是以下情况：
–x--xx–xy—y–yy–（$x,y$出现范围呈并列关系）
–x--y-yy-y-x-xx-----（$x,y$出现范围呈包含与被包含关系）
不可能是这种情况：
–xx-y-x-x-yyy-------（$x,y$出现范围呈相交关系）

所以可以把 构造形如 x–xy–yz–z 的序列$a$ 分解成 构造形如 x—x 的序列$a$，构造形如 y–y 的序列$a$，构造形如 z–z 的序列$a$ 三个子问题。

并且在构造形如 x—x 的序列$a$时， — 不管怎么填，最后得到的方案都一定猜不出选中数。
y–y ， z–z 同理。

形式化地，每次把$a$中的第一个数$x$放入$b$的末尾，然后在$a$中删掉最后一个$x$前的所有数（包括最后一个$x$）。
例如$a=[1,2,3,2,4,2,5,5,10,6,7,8,7,6,9]$
此时$b=[1,2,5,10,6,9]$
可以发现，只包含被删掉数的区间可有可无，但包含未被删掉数的区间一定要使未被删掉数的$a$值互不相同，即这些包含未被删掉数的区间对应着一个长度为$|b|$的序列的答案。
例如序列$b$中一个包含1,2的区间，对应着序列$a$中一个包含1,2,3,2,4,2的区间。

那么就可以DP了：
记$f_i$为$i$个数的答案，$g_{i,j}$为$i$个数，处理之后之剩$j$个数的答案。则有：

$$f_i=2^{C_{i+1}^2}-\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j{g}_{i,j}$$

$$g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+\sum _{k=0}{g}_{i-k-2,j-1}{2}^{C_{k+1}^2}$$

时间复杂度：$O(n^3)$或$O(n^{2}logn)$

还可以用多项式优化，但我不会。