[CSA49G][XSY3315] Bunny on Number Line （DP）

CSA49G
XSY3315
因为判断两串是否本质不同只看某几项是不是好数，与究竟是哪个好数无关，所以考虑转换一下题意：
给出一个长度为$a_k$的01串$S$，第$a_1,a_2,...,a_k$项为1，其余项为0。
现要用若干个$S$的前缀拼出串$T$，使得$T$中有$n$个1，以1结尾，并且任意两个1之间0的个数不超过$m$。问所有不同的$T$的长度之和为多少？

$S$如果用01串表示，会很长，发现$k$很小，考虑换一种表示方式：设$b_i=a_i-a_{i-1}$。我们把$S$串描述成 { b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b k } \{b_1,b_2,b_3,...,b_k\} { b1​,b2​,b3​,...,bk​}，表示$S$由 $(b_1-1)$个0,1个1,$(b_2-1)$个0,1个1,…,$(b_k-1)$个0,1个1 拼接而成。

设$g(x,i)$表示目前有$x$个1，以 $(b_i-1)$个0+1个1 结尾的01串个数，
$f(x,i)$表示目前有$x$个1，以 $(b_i-1)$个0+1个1 结尾的01串长度之和。
可以列出dp式：

$$g(x,i)=\{\begin{array}{l}g(x-1,i-1)i>1\\ {\sum }_{j=1}^{k}g(x-1,j)\times (m-a[1]+1)i=1\end{array}$$

$$f(x,i)=\{\begin{array}{l}f(x-1,i-1)+(a[i]-a[i-1])\times g(x-1,i-1)i>1\\ {\sum }_{j=1}^{k}f(x-1,j)\times (m-a[1]+1)+g(x-1,j)\times \frac{(a[1]+m)(m-a[1]+1)}{2}i=1\end{array}$$

把式子用矩阵快速幂优化一下，复杂度是$O(k^{3}logn)$
（ps.因为$f$的转移同时与$f,g$有关，所以通过矩乘转移的过程有点特殊，具体可以看代码。）

然而还有一个小小的问题：
假设 a = { 2 , 6 , 7 , 9 , 13 } a=\{2,6,7,9,13\} a={ 2,6,7,9,13}，
那么$S[1-13]=0100011010001$，$S[1-6]=010001$，$S[1-7]=0100011$。
我们发现$S[1-7]+S[1-6]=S[1-13]$，即若$S[1-y]$是$S[1-x]$的后缀，则$S[1-x]$可以由$S[1-y]$,$S[1-(x-y)]$拼成。但仔细看上面的dp式就会发现$S[1-7]+S[1-6]$和$S[1-13]$被算成了两个串。怎么办？暴力预处理一下，对于前缀$S[1-x]$，若有前缀$S[1-y]$同时是$S[1-x]$的后缀，则前缀$S[1-x]$不能取。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int K=110;
int kk,m,n,a[K],pd[K][K],flag[K],ans;
struct Matrix{
    
    
	int n,m,g[K][K],f[K][K];
	//g:个数 f:长度和 
	Matrix(int x=0,int y=0){
    
    
		memset(f,0,sizeof(f));
		memset(g,0,sizeof(g));
		n=x,m=y;
	}
	friend Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
    
    
		Matrix res(a.n,b.m);
		for(int i=1;i<=a.n;i++){
    
    
			for(int j=1;j<=b.m;j++){
    
    
				__int128 g=0,f=0;
				for(int k=1;k<=a.m;k++){
    
    
					g+=1ll*a.g[i][k]*b.g[k][j];
					f+=1ll*a.f[i][k]*b.g[k][j]+1ll*a.g[i][k]*b.f[k][j];
				}
				res.g[i][j]=int(g%mod);
				res.f[i][j]=int(f%mod);
			}
		}
		return res;
	}
};
int Sum(ll x,ll y){
    
    
	return (x+y)*(y-x+1)/2%mod;
}
int main(){
    
    
    scanf("%d%d%d",&kk,&m,&n);
    for(int i=1;i<=kk;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+kk+1);
    pd[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=kk;i++){
    
    
        int fl=0;
        for(int j=2;j<=i;j++){
    
    
            if(pd[i-1][j-1]==1) fl=1;
            if(pd[i-1][j-1]==1&&(a[j]-a[j-1])==(a[i]-a[i-1])) pd[i][j]=1;
        }
        if(a[1]<=a[i]-a[i-1]&&fl) pd[i][1]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(pd[i][j]==1) flag[i]=1;
    }
	Matrix A(kk,kk),res(1,kk);
    for(int i=1;i<=kk;i++){
    
    
        if(flag[i]==0){
    
    
        	A.g[i][1]=max(m-a[1]+1,0);
			A.f[i][1]=max(Sum(a[1],m),0);
		}       
	}
    for(int i=1;i<kk;i++){
    
    
        if(a[i+1]-a[i]<=m){
    
    
        	A.g[i][i+1]=1;
			A.f[i][i+1]=a[i+1]-a[i];
		}
    }
    res.g[1][1]=max(m-a[1]+1,0);
    res.f[1][1]=max(Sum(a[1],m),0);
    int b=n-1;
    while(b){
    
    
    	if(b&1) res=res*A;
    	b>>=1;A=A*A;
	}
	for(int i=1;i<=kk;i++){
    
    
		if(flag[i]==0) ans=(ans+res.f[1][i])%mod;
	}
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}