POJ 1050 To the Max【题解】

一道非常经典的DP题目，适合我这种$DP蒟蒻$。

题目大意：给定一个矩阵，其元素均为$[-127,127]$之间的整数，求它的最大子矩阵。

解题思路:

看到网上很多的博客（几乎所有的）都是用的把问题压缩成一维动态规划来做，其实大可不必。可以直接在原矩阵上进行状态转移。我们采用:
$$F[i,j];i\in [1,N],j\in [1,n]$$
来表示矩阵$A_{i,j}$的最大子矩阵，那么很容易看出，初始状态为$F[1,1]$，目标状态为$F[n,n]$.现在来思考如何定义状态转移方程，稍加思考我们可以发现一个矩阵$A_{i,j}$的最大子矩阵一定为：
$$\{\begin{array}{l}{A}_{i-1,j}的最大子矩阵\\ A_{i,j-1}的最大子矩阵\\ 以a[i,j]为右下角的矩阵\end{array}$$
前两个状态我们可以进行$O(1)$的转移，最后一种状态我们可以在输入矩阵的时候预处理出它的二维前缀和$S[i,j]$,就可以扫描一遍$O(n^2)$的转移了。

总复杂度为$O(n^4)$,由于数据范围不超过一百，可以稳稳地过。

$ACCode:$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,a[150][150],s[150][150];
int f[150][150];
int main()
{
    
    
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
    
    
			cin>>a[i][j];
			s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
		}
	f[1][1]=s[1][1];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
    
    
			if(i==1&&j==1) continue;
			int s1=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
			int s2=-0x3f;
			for(int a=1;a<=i;a++)
			{
    
    
				for(int b=1;b<=j;b++)
				{
    
    
					int s3=s[i][j]-s[a-1][j]-s[i][b-1]+s[a-1][b-1];
					s2=max(s2,s3);	
				}	
			}
			f[i][j]=max(s1,s2);	
		}	
	} 
	cout<<f[n][n]<<endl;
	return 0;
}