动态规划的递归写法和递推写法

动态规划是一种非常精妙的算法思想，它没有固定的写法、及其灵活，常常需要具体问题具体分析。

11.1.1什么是动态规划

动态规划是一种用来解决一类最优化问题的算法思想。简单来说就是将一个复杂的问题分解成若干个子问题，通过综合子问题的最优解来得到原问题的最优解。DP会将每个求解过的子问题的解记录下来，这有当下一次碰到同样的子问题时，就可以直接使用之前的记录结果，提高了计算效率。
一般可以使用递归或者递推的写法来实现动态规划，其中递归写法又称记忆化搜索。

11.1.2动态规划的递归写法

理解如何记录子问题的解，来避免下次遇到相同的子问题时的重复计算。
例如斐波那契数列。
递归写法：

int F(int n){
    
    
	if(n == 0 || n == 1) return 1; 
	else return F(n - 1) + F(n - 2);
}

这会有很多重复的计算。为了避免重复计算，可以开一个一维数组dp，用来保存已经计算过的结果，其中dp[n]记录结果F[n]，并用dp[n] = -1来表示还没有被计算过。
可以在递归中判断dp是否是-1，如果不是1，说明已经计算过dp[n],直接返回dp[n],就是结果，否则，按照递归形式进行递归。代码如下：

const int N = 1e5 + 7;
int dp[N];
int F(int n){
    
    
	if(n == 0 || n == 1) return 1;//递归边界
	if(dp[n] != -1) return dp[n];//已经计算过，直接返回结果，不再重复计算
	else{
    
    
		dp[n] = F[n - 1] + F[n - 2];//计算F[n]保存至dp[n]
		return dp[n];//返回F[n]的结果 
	} 
}

这样就把已经计算过的内容记录了下来，于是当下次再碰到需要计算相同的内容时，就可以直接用了，这也是记忆化搜索这个名字的由来。如图，记忆化搜索把时间复杂度从O（n²）降到了O（n），也就是说用一个O（n）的空间力量就让时间复杂度降低到了线性级别。（空间换时间）

通过上面的例子可以引出一个概念：如果一个问题可以被分解成若干个子问题，且这些子问题会重复出现那就称这个问题有重叠子问题。
动态规划通过记录重叠子问题的解来避免重复计算。因此，一个问题必须拥有重叠子问题，才能使用动态规划解决。

11.1.3动态规划的递推写法

以数塔问题为例。
将一些数字排成数塔状，其中第一层有一个数，第二层有两个数……第n层有n个数。现在要从第一层走到第n层，每次只能走向下一层链接的两个数字中的一个，问：最后路径上所有数字相加之后得到的最大和是多少？