【DA】t检验应用实例

应用例子1：单一样本T检验（One-Sample T Test）

双尾检验

【例1】大量检测已知正常人血浆载脂蛋白E（ apo E）总体平均水平为4.15mmol/L。
某医师经抽样测得41例陈旧性心机梗死患者的血浆载脂蛋白E平均浓度为5.22mmol/L，标准差为1.61mmol/L。
据此能否认为陈旧性心肌梗死患者的血浆载脂蛋白E平均浓度与正常人的平均浓度不一致？

1. 建立检验假设和确定检验水准。
   $H0:\mu =\mu 0，H1:\mu \ne \mu 0，\alpha =0.05$，双侧检验；

2. 选定检验方法和计算统计量。
   用单样本的 $t$ 检验，如成组设计的两样本均值的比较用t检验，多个样本均值的比较用F检验。 由样本计算均值 $\bar{x}=5.22,s=4.15,df=n-1=41-1=40$​
   $t=\frac{\bar{x}-u0}{s/\sqrt{n}}=\frac{5.22-4.15}{1.61/\sqrt{41}}=4.26>t_{0.05}(40)=2.021$

3. 确定P值和作出推断结论。
   查t分布表，$t_{0.05}(40)=2.021$，$P<0.05$。
   按$\alpha =0.05$，拒绝H0，接受H1，可认为陈旧性心肌梗死患者的血浆载脂蛋白E平均浓度与正常人的差别有统计学意义，结合专业可以认为前者平均浓度较高。

p值的计算：【DA】单侧T检验p值与双侧T检验p值的关系

单尾检验

右侧检验：

【例2】某厂生产的电子元件寿命（h）X~N（u，σ2），其中σ2未知。但根据以往经验，电子元件的寿命稳定在u0=200h。现在改进生产工艺，为了了解效果，从新一批元件任意抽去了16只，测得寿命如下：
199,280,191,232,224,279,179,254,
222,192,168,250,189,260,285,170
试问：工艺改进后，在检验水平α=0.05下，是否可以认为平均寿命得到了提高？

1. 建立检验假设和确定检验水准。
   根据提问，我们想要验证的是平均寿命得到了提高，所以把它放在H1。
   $H0:\mu <=\mu 0，H1:\mu >\mu 0=200，\alpha =0.05$，右侧检验；

2. 选定检验方法和计算统计量。
   方差未知，小容量，因此用单样本的 $t$ 检验。
   由样本计算均值 $\bar{x}=223.375,s=40.707,df=n-1=16-1=15$​
   $t=\frac{\bar{x}-u0}{s/\sqrt{n}}=\frac{223.375-200}{40.707/\sqrt{16}}=2.297>t_{0.05}(15)=1.7351$

3. 确定P值和作出推断结论。
   查 $t$ 分布表，可知 $t$ 统计量会大于临界值$t_{0.05}(15)=1.7351$，$P<0.05$。
   于是拒绝H0，接受H1，可认为工艺改进后元件的平均寿命得到了提高。

左侧检验：

【例2】同一例子，改用左侧检验。
试问：工艺改进后，在检验水平α=0.05下，是否可以认为平均寿命没有提高？

1. 建立检验假设和确定检验水准。
   根据提问，我们想要验证的是平均寿命没有提高，所以把它放在H1。
   $H0:\mu >=\mu 0，H1:\mu <\mu 0=200，\alpha =0.05$，左侧检验；
2. 选定检验方法和计算统计量。
   方差未知，小容量，因此用单样本的 $t$ 检验。
   由样本计算均值 $\bar{x}=223.375,s=40.707,df=n-1=16-1=15$​
   $t=\frac{\bar{x}-u0}{s/\sqrt{n}}=\frac{223.375-200}{40.707/\sqrt{16}}=2.297>-t_{0.05}(15)=-1.7351$
3. 确定P值和作出推断结论。
   查 $t$ 分布表，可知 $t$ 统计量会大于临界值$-t_{0.05}(15)=-1.7351$，$P>0.05$。
   于是接受H0，拒绝H1，可认为工艺改进后元件的平均寿命得到了提高。

应用例子2：独立样本T检验（Independent-Samples T Test）

双尾检验

【例3】25例糖尿病患者随机分成两组，甲单纯药物治疗，乙采用药物合并饮食治疗，二月后测空腹血糖如下，问两种疗法血糖值是否相同？ 甲乙两总体方差未知，但是相等。
数据：n1=12,s1=182.5, n2=13,s2=141

1. 建立检验假设和确定检验水准。
   $H0：\mu 1=\mu 2,H1：\mu 1\ne \mu 2，\alpha =0.05$, 选用两独立样本 $t$ 检验方法

2. 选定检验方法和计算统计量。
   根据前文检验步骤中，先计算两个样本的方差是否相等，再选择计算出 $t$ 统计量的公式。
   将数据带入公式，计算得$t=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{S_p^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}=2.639>t_{0.05}(23)=2.069$，自由度=$n1+n2-2=23$

3. 确定P值和作出推断结论。
   查t分布表得临界值为$t_{0.05}(23)=2.069$, 故 $p<0.05$ ，拒绝H0，接受H1，存在显著性差异，故认为两种疗法效果不同。

应用例子3：配对样本T检验（Paired-Samples T Test）

双尾检验

【例4】将大白鼠配成8对，每对分别饲以正常饲料和缺乏维生素A饲料，测得两组大白鼠肝中维生素A的含量，试比较两组大白鼠中维生素A的含量有无差别。

可将配对设计资料的假设检验视为样本均数与总体均数μd=0的比较。据定理：$t=\frac{\bar{x}-0}{s/\sqrt{n}}\tilde{}t(n-1)$

大白鼠配对号	正常饲料组	维生素E缺乏组	差数d
1	3550	2450	1100
2	2000	2400	-400
3	3000	1800	1200
4	3950	3200	750
5	3800	3250	550
6	3750	2700	1050
7	3450	2500	950
8	3050	1750	1300
Mean	3318.75	2506.25	812.5

1. 建立检验假设和确定检验水准。
   涉及到检验两个配对总体的均值是否存在显著性差异：配对T检验。
   首先计算出各对差值的均数。当两种处理结果无差别或某种处理不起作用时，理论上差值的总体均数$u_d=0$
   $H0:\mu d=0，H1:\mu d\ne 0，\alpha =0.05$，双侧检验。
2. 选定检验方法和计算统计量。
   $\bar{d}=\frac{\sum di}{n}=\frac{1100-400+1200+...+1300}{8}=\frac{6500}{8}=812.5$
   $S_{\bar{d}}=\frac{S_d}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{7370000-\frac{6500^2}{8}}{8\ast (8-1)}}=193.1298$
   $t=\frac{\bar{d}-u_d}{S_{\bar{d}}}=\frac{\bar{d}}{S_d/\sqrt{n}}=\frac{812.5-0}{193.1298}=4.2070$
3. 确定P值和作出推断结论。查 $t$ 分布表（双侧）， $t=4.2070>t_{0.05}(7)=2.365,P<0.05$。
   拒绝H0，接受H1,可以认为两种饲料喂养的两组大白鼠中维生素A的含量有差别。