用 python 做 z 检验，t 检验

Python 中的假设检验一般用到 scipy 或 statsmodels 包，需要注意的是，这两个包里面各种检验的置信度都是 0.05。

1. z 检验

对于大样本数据（样本量 $\geq$ 30），或者即使是小样本，但是知道其服从正态分布，并且知道总体分布的方差时，需要用 z 检验。在 python 中，由于 scipy 包没有 z 检验，我们只能用 statsmodels 包中的 ztest 函数。ztest 函数的一般用法如下：

	ztest(x1, x2=None, value=0, alternative=`two-sided’)
输入参数：
x1	数组，第一个样本的数据值
x2	数组，第二个样本的数据值，默认没有值
value	浮点型数值，若是单样本，则 value 是样本假设的均值
	若是双样本，则 value是两个样本均值的差值
alternative	若为 `larger’，备选假设 H1 大于 value 值
	若为 `smaller’，备选假设 H1 小于 value 值
输出参数：
tstats	统计量值
pvalue	p 值

假设有下面表格的数据：

23	36	42	34	39	34	35	42	53	28	49	39
46	45	39	38	45	27	43	54	36	34	48	36
47	44	48	45	44	33	24	40	50	32	39	31

检测其均值是否为 39， 该问题显然是一个双侧检验，由于样本个数大于 30，则使用 z 检验，python 代码如下：

 >>> import statsmodels.stats.weightstats as sw
 >>> arr=[23,36,42,34,39,34,35,42,53,28,49,39,
 ... 46,45,39,38,45,27,43,54,36,34,48,36,
 ... 47,44,48,45,44,33,24,40,50,32,39,31]
 >>> sw.ztest(arr, value=39)
 (0.3859224924939799, 0.6995540720244979)

从 ztest 的运行结果可以看出，统计量值为 0.385，而 p 值是 0.699，在置信度 $\alpha=0.05$ 时，由于 p 值大于 $\alpha$，接受原假设，认为该样本的均值是 39。

若要检测该样本均值是否大于 39，即原假设 H0： $\mu>39$，备选假设为： $\mu\leq 39$，则我们需要在代码中增加一个参数 alternative=``smaller”：

>>> sw.ztest(arr, value=39, alternative="smaller")
(0.3859224924939799, 0.650222963987751)

检测结果的 p 值为 0.650，大于置信度 0.05，则接受原假设，认为样本均值大于39。假设另外一个样本 2 的数据：

41	34	36	32	32	35	33	31	35	34
37	34	31	36	37	34	33	37	33	38
38	37	34	36	36	31	33	36	37	35
33	34	33	35	34	34	34	35	35	34

检测两个样本的均值是否相等，因为两个样本都是大样本，使用 z 检验， python 代码如下：

>>> arr2 = [41, 34, 36, 32, 32, 35, 33, 31, 35, 34,
... 37, 34, 31, 36, 37, 34, 33, 37, 33, 38,
... 38, 37, 34, 36, 36, 31, 33, 36, 37, 35,
... 33, 34, 33, 35, 34, 34, 34, 35, 35, 34]
>>> sw.ztest(arr, arr2, value=0)
(3.775645601380307, 0.0001595937672736755)

从 ztest 的检验结果可以看出，p 值小于 0.05， 则拒绝原假设，认为两个样本的均值不相等。

2. t 检验

小样本（样本量小于30个），一般用 t 检验。对于 t 检验，可以根据样本特点，用 scipy 包中的 ttest_1sample（单样本 t检验函数），ttest_ind（两个独立样本的 t 检验），ttest_rel （两个匹配样本的 t 检验）。但这些函数得到都是双侧 t 检验的 p 值。如果是单侧检验，我们还要进行一些换算，得到单侧检验的 p 值。

ttest_1sample 函数的语法为：

	ttest_1samp(a, popmean)
输入参数：
a	数组，样本的数据值
popmean	原假设 $H_0$ 中样本的期望值
输出参数：
tstats	统计量值
pvalue	p 值

下面是一个样本的数据：
$99.3\quad 98.7\quad 100.5\quad 101.2\quad 98.3\quad 99.7\quad 99.5\quad 102.1\quad 100.5$

检测样本均值是否等于100，对其进行双侧 t 检验的语法为：

>>> import scipy.stats as st
>>> a = [99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5]
>>> st.ttest_1samp(a, 100)
Ttest_1sampResult(statistic=-0.054996133220328265, pvalue=0.9574902045208937)

从结果可以看出，双侧检验的 p 值为 0.95， 大于置信度 0.05，因此接受原假设，认为样本的均值是100。若是单侧检验中的左侧检验，则 p 值为 $0.957/2=0.4785$，若是右侧检验，则 p 值为 $1-0.957/2=0.5215$。

假设有另外一个样本的数据：
$91.1\quad 93.7\quad 93.6\quad 96.1\quad 94.3\quad 92.2\quad 94.0\quad 95.7\quad 97.1$

若两个样本相互独立，检测两个样本的均值是否相等，使用 ttest_ind 函数。

ttest_ind 函数的语法为：

	ttest_ind(a, b, axis=0, equal_var=True)
输入参数：
a	数组，样本的数据值
b	数组，样本2的数据值
axis	一般为 0
equal_var	若为 true，表示两个样本由相同的方差
	若为 false，表示两个样本的方差不同，使用合并方差
输出参数：
tstats	统计量值
pvalue	p 值

假设两个样本的方差不同，则独立双样本的 t 检验 python 代码为：

\begin{lstlisting}[Language=Python]

>>> a = [99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5]
>>> b = [91.1, 93.7, 93.6, 96.1, 94.3, 92.2, 94.0, 95.7, 97.1]
>>> st.ttest_ind(a, b, equal_var = False)
Ttest_indResult(statistic=7.723221821038956, pvalue=2.4331092243754622e-06)

从上面结果可以看出，p 值小于置信度 0.05，拒绝原假设，认为两个两个样本的均值不同。

若两个样本是匹配样本，使用函数 ttest_rel，它的语法更简单，只需在函数里输入两个样本的数组即可。假设上面两个样本为匹配样本，python 代码为：

>>> import scipy.stats as st
>>> a = [99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5]
>>> b = [91.1, 93.7, 93.6, 96.1, 94.3, 92.2, 94.0, 95.7, 97.1]
>>> st.ttest_rel(a, b)
Ttest_relResult(statistic=10.845107419335658, pvalue=4.617509769582176e-06)

结果显示，p 值小于置信度 0.05，拒绝原假设，认为这两个匹配样本的均值不同。