t分布和t检验

参考:

t分布

t检验

What is a paired and unpaired t-test? What are the differences?

T-TEST

我们知道样本均值

\bar X=\frac{1}{n}\sum{X_{i}}

假设样本X_{i}独立同分布:

X_{i} \sim N(\mu, \sigma ^2)

因为随着样本的变化\bar X本身也是个随机变量,既然是\bar X随机变量,并且它是正态分布随机变量的和,那么它也是正态分布的,也存在均值和方差。

E(\bar X)=E(\frac{1}{n}\sum{X_{i}})

=\frac{1}{n}E(\sum{X_{i}})

=\frac{1}{n}\sum{E(X_{i})}

=\frac{1}{n}\sum{\mu}

=\frac{1}{n} n \mu

=\mu

D(\bar X)=D(\frac{1}{n}\sum{X_{i}})

=\frac{1}{n^2}D(\sum{X_{i}})

=\frac{1}{n^2}\sum{D(X_{i})}

=\frac{1}{n^2}n \sigma^2

=\frac{\sigma^2}{n}

因此,

\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma ^2}{n})

对随机变量\bar{X}进行标准正态化:

\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)

t分布和上面这个式子很像。因为实际现实应用当中,总体标准差\sigma是不知道的,会使用样本标准差S去替代:

{\color{Red} \frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n}}}

至此,我们得到了一个新的随机变量,我们说上面这个随机变量是服从t分布的,并且它的自由度是n-1。

样本标准差公式是下面这样子的:

S=\sqrt{\frac{\sum (X_{i}-\bar{X})^2}{n-1}}

至于它为什么是除以n-1,请参考:

总体样本方差的无偏估计样本方差为什么除以n-1

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