【DA】方差分析实例

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应用例子1：单因素方差分析

例子来源+excel&spss操作： 白话方差分析（ANOVA-Analysis of Variance）

【例1】我从三个农户的那里买来三堆玉米，从各堆玉米中各抽取12穗来称重。我想知道他们三家的玉米重量是否有很大差异（$\alpha =0.05$）？从三家农户的玉米中，各随机抽样本12穗玉米称量后，数据如下表：

1. 正态性检验 & 方差齐性检验。
2. 建立原假设和备择假设。
   每家（每个水平）的玉米重量均值为${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3$，检验均值是否相等。
   $H_0:{\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3，H_1:{\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3不全相等$
3. 构造检验统计量。
   全部观测值均值：
   $$\overline{x}=\frac{\sum x_{ij}}{n}=\frac{\sum x_1+x_2+...+x_{36}}{36}=649.75$$
   各组样本均值：
   $$李：\overline{x_1}=\frac{{\sum }_{}^{12}{x}_1+x_2+...+x_{12}}{12}=636.25$$
   $$高：\overline{x_1}=\frac{{\sum }_{}^{12}{x}_1+x_2+...+x_{12}}{12}=645.3$$
   $$赵：\overline{x_1}=\frac{{\sum }_{}^{12}{x}_1+x_2+...+x_{12}}{12}=667.67$$
   总平方和：
   $$SST=\sum _{i=1}^{36}(x_{ij}-\overline{x}{)}^2=(650-649.75{)}^2+(645-649.75{)}^2+...+(620-649.75{)}^2=27604.75$$
   组间平方和：
   $$SSA=\sum _{i=1}^k{n}_i(\overline{x_i}-\overline{x}{)}^2=12\ast (636.25-649.75{)}^2+12\ast (645.3-649.75{)}^2+12\ast (667.67-649.75{)}^2=6273$$
   组内平方和：
   $$李：\sum _{j=1}^{12}(x_{1j}-\overline{x_1})=(650-636.25{)}^2+(645-636.25{)}^2+...+(637-636.25{)}^2=3176.25$$
   $$高：\sum _{j=1}^{12}(x_{2j}-\overline{x_2})=(650-645.3{)}^2+(640-645.3{)}^2+...+(637-645.3{)}^2=12504.67$$
   $$赵：\sum _{j=1}^{12}(x_{3j}-\overline{x_3})=(700-667.67{)}^2+(650-667.67{)}^2+...+(637-667.67{)}^2=5650.667$$
   $$SSE=3176.25+12504.67+5650.667=21331.58$$
   组间方差：
   $$MSA=\frac{SSA}{k-1}==\frac{6273}{3-1}=3136.58$$
   组间方差：
   $$MSE=\frac{SSE}{n-k}=\frac{21331.58}{36-3}=646.41$$
   将组间方差与组内方差进行对比，就得到了所需的检验统计量$F$：
   $$F=\frac{MSA}{MSE}=\frac{3136.58}{646.41}=4.85$$
4. 统计决策。
   决策：若$F>F_0.05(2,33)$ ，拒绝$H_0$，因素水平对观测值有显著影响，即拒绝三家玉米重量的均值相等的假设。
   
5. 关系强度的测量。
   不同农户对玉米重量的影响强度：
   $$R_A=\frac{SSA}{SST}\ast 100\%=\frac{6273}{27604.75}\ast 100\%=22.72\%$$
6. 方差分析中的多重比较。我们想知道多个总体均值中，究竟是哪两个均值不同，需要使用多重比较方法。它通过对总体均值之间的配对比较来检验哪些均值之间存在差异。多重比较方法有很多种，这里使用最小显著差异方法（LSD）。
   （1）第一步：提出假设。
   
   （2）第二步：计算检验统计量。
   
   （3）第三步：计算LSD，查$t$分布表得$t_{\alpha /2=0.025}(33)=2.034$。
   
   （4）第四步：作决策，如果$|\overline{x_i}-\overline{x_j}|>LSD$，拒绝$H_0$。
   

通过以上的比较分析，我很有把握地小声地给李叔说：“李叔，咱家玉米与别人家的，有明显差异呀，我本来想把您家的玉米全部收了，就是担心顾客比较以后，不买咱家的，您看明天能否批大一点的给我去卖。”李叔：“你看得太认真了，好吧，一定给你批大的早点卖出去。”“谢谢叔，还是您照顾到我，估计城管下班了，我先赶着去摆摊儿。”

应用例子2：无交互作用的双因素方差分析

来源：6-3无交互作用双因素方差分析

【例2】$\alpha =0.05$

1. 正态性检验 & 方差齐性检验。

2. 建立原假设和备择假设。
   对行因素提出的假设为：
   $H0:{\mu }_{A1}={\mu }_{A2}={\mu }_{A3},H1:{\mu }_{Ai}不全相等$
   对列因素提出的假设为：
   $H0:{\mu }_{B1}={\mu }_{B2}={\mu }_{B3}，H1:{\mu }_{Bi}不全相等不全相等$

3. 构造检验统计量。
   
   
   

4. 统计决策。
   

5. 关系强度的测量。
   
   
   

应用例子3：有交互作用的双因素方差分析

来源：6-2交互作用双因子方差分析

【例3】$\alpha =0.05$

1. 正态性检验 & 方差齐性检验。

2. 建立原假设和备择假设。
   对行因素提出的假设为：
   $H0:{\mu }_{A1}={\mu }_{A2}={\mu }_{A3},H1:{\mu }_{Ai}不全相等$
   对列因素提出的假设为：
   $H0:{\mu }_{B1}={\mu }_{B2}={\mu }_{B3}，H1:{\mu }_{Bi}不全相等不全相等$
   对交互作用提出的假设为：
   $H0:{\mu }_{A1B1}={\mu }_{A1B2}={\mu }_{A1B3}={\mu }_{A2B1}={\mu }_{A2B2}={\mu }_{A2B3}={\mu }_{A3B1}={\mu }_{A3B2}={\mu }_{A3B3}，H1:{\mu }_{AiBi}不全相等$

3. 构造检验统计量。
   
   
   
   
   

4. 统计决策。
   

5. 关系强度的测量。