最短路径问题
问题描述
给定一个图 G = ⟨ V , E ⟩ G=⟨V,E⟩ G=⟨V,E⟩，对于图中每条边 e = ⟨ i , j ⟩ e=⟨i,j⟩ e=⟨i,j⟩都有一个距离 d i , j d_{i,j} di,j。起始点是s，终点是t，问从s到t的最短路径是多少？
解决方法
1.动态规划
最短路径问题是一个多步决策问题，所以可以先考虑用动态规划来求解。如果我们用OPT(i,j)表示点i到点j的最短路径，如果图中存在负值的边、负值环路，就转移方程会出现类似陷入循环等问题，而且转移方程无法与明确的d(u,v)做关联。所以我们通过引入一个新变量k，使得OPT(i,j)变成OPT(i,j,k)（从i到j经过最多k条边的最短路径），因为起点是固定的，我们只用考虑终点即可，最终定义OPT(v,k)：从s到点v最多经过k条边的最短路径。由此我们可以得到转移方程如下：
O P T ( v , k ) = min { O P T ( v , k − 1 ) min ⟨ u , v ⟩ ∈ E { O P T ( u , k − 1 ) + d u , v } OPT(v,k) = \min \begin {cases} OPT(v,k-1) \\ \min_{\lang u,v\rang \in E}\{OPT(u,k-1)+d_{u,v}\} \end{cases} OPT(v,k)=min{
OPT(v,k−1)min⟨u,v⟩∈E{
OPT(u,k−1)+du,v}
我们要在最多经过k条边内到达v，有两种可能，一是直接最多经过k-1条边就可以到达；二是先经过最多k-1条边到达u，存在一条边从u到v，经过此边到达v(可能有多个u满足，取最小者)，二者取较小即OPT(v,k)。
这个是Bellman Ford算法，是一种求解单源最短路径的算法。
伪代码如下：
通过上面算法，我们可以算出s到v的最短路径为4,下面表格还可以继续延申（k最多可能为8）。
2.贪心算法
在有了动态规划算法之后，我们观察上图示例可以发现是存在冗余计算的。
优化1：去除冗余计算
这个表格里的值的计算，要么是走了k-1条边后再走一条边从而让路径更短，要么是走k-1条边就能到，再多走一条边，路径也没有更短。后者这种在表格里就是横着平移，有很多重复的值是不需要计算的，为了找到什么时候可以不再继续计算该点的最小值（即该点不可能再被更新地更小了）。为此，我们定义一个特殊点 v ∗ v^∗ v∗。如下
O P T ( v ∗ , k − 1 ) = m i n v O P T ( v , k − 1 ) OPT(v^*,k-1) = min_vOPT(v,k-1) OPT(v∗,k−1)=minvOPT(v,k−1)
即在最多k-1条边那列中，OPT值最小的点（s点除外），我们将每一轮k对应的 v ∗ v^∗ v∗添加到一个集合S中，添加后意味着OPT值在后续不会再发生变化，也就没有计算的必要了。
证明：本列最小OPT点无需再计算
由上面的定义，有 v ∗ v^∗ v∗的转移方程如下：
O P T ( v ∗ , k ) = min { O P T ( v ∗ , k − 1 ) ; ( 1 ) min ⟨ u , v ∗ ⟩ ∈ E { O P T ( u , k − 1 ) + d u , v ∗ } ; ( 2 ) OPT(v^*,k) = \min \begin {cases} OPT(v^*,k-1) ;(1) \\ \min_{\lang u,v^*\rang \in E}\{OPT(u,k-1)+d_{u,v^*}\} ; (2) \end{cases} OPT(v∗,k)=min{ OPT(v∗,k−1);(1)min⟨u,v∗⟩∈E{ OPT(u,k−1)+du,v∗};(2)
必然有(2)>(1)，因为 O P T ( u , k − 1 ) ≥ O P T ( v ∗ , k − 1 ) OPT(u,k−1)≥OPT(v^∗,k−1) OPT(u,k−1)≥OPT(v∗,k−1)且 d u , v ∗ ≥ 0 d_{u,v^∗}≥0 du,v∗≥0，也就是一列的OPT最小值再经过多一条边肯定比不经过要大。所以
O P T ( v ∗ , k ) = O P T ( v ∗ , k − 1 ) OPT(v^*,k) = OPT(v^*,k-1) OPT(v∗,k)=OPT(v∗,k−1)
我们得到了第一个优化结论：
对于最多利用k-1条边走到v的最近点（即表中每列OPT值最小的点），它以后的OPT值不会再变化。
初始化一个集合S={s}，每次找出那一列的最小值的点，就把其添加进S，之后就不用算了，也就是下图绿色的是不需要计算的。
伪代码如下：
优化2：只考虑相邻最近点
前面我们已经加入了贪婪规则：一旦算出该点的最短距离后不再冗余计算该点OPT，但我们仍然需要遍历所有没加入集合S中点。其实每次我们只是多看一步，有很多相隔几步的点是不需要计算的，比如y与t离s比较远、不相邻，在k=1的时候应该不需要计算OPT(y,1),OPT(t,1)（注意这里的远是指离已遍历点远），同样地，在k=2时，已遍历集合中多了u，此时y离已遍历集合近了，但t仍然离S={s,u}远（不相邻）。
举个例子：
当k=1时，S={s},其更新了u,v.x三个点（它们与s相邻，一步可达），而y，t与s不相邻，因此没必要对y，t做计算。
当k=2时，S={s,u}，其更新了v,x,y（相邻），但t不相邻，虽然t被更新到了5，但是这个数字更不更新对最终结果并没有影响
当k=3时，S={s,u,v,x}，其更新了y,t（相邻），发现此时t被更新了，但它的更新来源于x，与之前的5没有关系（5换成无穷也是一样结果）
由此，我们知道，那些与已遍历集合S不相邻的点无需计算。
再进一步，那些相邻的点我们是否全部需要计算？
记d(v)表示从s到v的最短距离，设 u ∗ u^∗ u∗是所有未遍历相邻点中离已遍历点最近的点，也即 d ( u ∗ ) = m i n w ∈ S d ( w ) + d ( w , u ) d(u^∗)=min_{w∈S}{d(w)+d(w,u)} d(u∗)=minw∈Sd(w)+d(w,u)。那么路径 P : s → . . . → w → u ∗ P:s→...→w→u^∗ P:s→...→w→u∗是s到 u ∗ u^∗ u∗的最短路径，路径长度为 d ( u ∗ ) d(u^∗) d(u∗)。
举个例子：已遍历集合为{s,x,w}，相邻未遍历集合点(也可称一步到达点)为{ y , u ∗ y,u^∗ y,u∗}，不相邻未遍历点为z（不用计算），对于已遍历点，我们知道d(x)=1,d(w)=2,而d(x)+d(x,y)=4，d(w)+d(w,u∗)=3，所以3是s到 u ∗ u^∗ u∗的最短路径长度。也就是 u ∗ u^∗ u∗的最短路径不会再发生变化。
为什么 u ∗ u^∗ u∗的最短距离不再变化?用反证法就可证明，假设存在另一个条路径 P ′ : s → . . . → x → y → . . . → u ∗ P′:s→...→x→y→...→u^∗ P′:s→...→x→y→...→u∗要更短，即 u ∗ u^∗ u∗不通过w直达，则一定有 ∣ P ′ ∣ ≥ d ( s , x ) + d ( x , y ) ≥ d ( w ) + d ( w , u ∗ ) = d ( u ∗ ) ∣P′∣≥d(s,x)+d(x,y)≥d(w)+d(w,u^∗) = d(u^∗) ∣P′∣≥d(s,x)+d(x,y)≥d(w)+d(w,u∗)=d(u∗)，矛盾。
由此，我们可以得出第二个优化结论
与已遍历点集合S相邻的最近点 u ∗ u^∗ u∗ ，其到S的最短距离可以确定了。
这里的最近不要理解为 d ( v , u ∗ ) d(v,u^∗) d(v,u∗)最小，应该是 d ( v ) + d ( v , u ∗ ) d(v)+d(v,u^∗) d(v)+d(v,u∗)
这就是Dijkstra算法
L7：每一列找最小的d(v)
L8：把其加入S
L9-11:从S多走1步看能否刷新s->v的最短距离
特殊case：所有点之间的距离都为1，就变成了BFS广度优先搜索
总结
经过以上两点优化，我们已经将Bellman Ford算法优化为Dijkstra算法。上面的优化就是贪心的思想，不考虑远的点，就只计算最近的相邻点，这就是一种局部最优的思想，所以Dijkstra 算法也属于贪心算法。