最优子结构
设Sij表示活动i开始时间后且活动j时间结束前的活动集,假设有一个最大兼容活动子集Aij,其中包括了活动k。由于最优解包含活动k,可以得到两个子问题:寻找Sik以及Skj中的兼容活动子集。原问题解变为:Aij = Aik ∪k ∪Akj。
有了最优子结构,意味着可以用动态规划解。
如果用c[i][j] 表示集合Sij的最优解的大小,则可得递归式:
c[i][j] = c[i][k] + 1 + c[k][j]
最优解是c[0][N+1]。
当然如果不知道最优解包含哪一个活动k的话就必须要考察所有的选择k,于是最优解:
c[i][j] = max( c[i][k] + 1 + c[k][j] ) (Sij 不空) (k = i+1….j-1 且k和前后前后活动兼容)
= 0 (Sij 空)
/*测试数据
注意Sij表示的意义是活动i结束后,活动j结束前的兼容活动,所以是双开区间
int s[] = { 0,1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12,_CRT_INT_MAX };
int f[] = { 0,4,5,6,7,9,9,10,11,12,14,16,_CRT_INT_MAX };
*/
#define N 11
void dp_act(int s[], int f[])
{
int i = 0;
int c[N + 2][N + 2] = { 0 };
for (int len = 2; len <= N+1; len++) {
for (i = 0; i <= N -len+1; i++) {
int j = i + len;
//Sij不为空
if (f[i] <= s[j]) {
int maxn = -1;
for (int k = i+1 ; k <j; k++) {
if (s[k] >= f[i] && f[k] <= s[j]) {
maxn = c[i][k] + c[k][j] + 1;
if (maxn > c[i][j]) {
c[i][j] = maxn;
}
}
}
}
}
}
}
递归贪心形式
动归形式考察了递归式中所有选择k的过程,如果使用贪心选择出最早结束的活动,就剩下一个子问题待解决。
贪心算法和动归的不同:
动归的每一步都要进行一次选择,但选择依赖于子问题的解。因此通常使用自底向上求解,先求较小子问题,再求较大子问题。在贪心算法中,总是选择当时最佳的选择,剩下唯一待解的子问题,子问题不依赖于任何将来的选择。
因此,与动归先求解子问题才能进行第一次选择不同,贪心在进行第一次选择前不用求任何子问题。
当然,我们需要证明每次贪心选择能生成全局最优解。
int ret[10];
int ans = 0;
void recur_act_select(int s[], int f[], int k, int n)
{
int m = k + 1; //m是每次第一个结束的活动的下标
while (m <= n && s[m] < f[k]) {
m++;
}
if (m <= n) {
ret[ans++] = m;
return recur_act_select(s, f, m, n);
}
return;
}
迭代
尾递归改为迭代,关键是每次计算结果参与下次计算。
//尾递归改成循环
void gred_act_select(int s[], int f[], int n)
{
int k = 0;
int m = 0;
int ret[10] = { 0 };
int ans = 0;
while (k <= n) {
if (s[k] >= f[m]) {
ret[ans++] = k;
m = k;
}
k++;
}
}