问题描述
给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。
策略与数据结构
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
相关解释
- 观测域：假设起点为v点，观测域便为v点的四周，即v的所有邻接点；
- 点集 V：图中所有点的集合；
- 点集 S：已经找到最短路径的终点集合；
- 数组 D：存储观测域内能观测到的最短路径，算上起点一共 n 个数值。比如 D[k] 对应在观测域中能观测到的，到顶点 k 的最短路径；
- 邻接矩阵 a：存储着有权图中的边的信息，是一个二维数组。比如 a[1][2] = 5 表示在有权图中，点 1 和点 2 之间有边，且边的权值为 5。如果两点之间没边，则用负数或则无穷大(∞)表示。
- 单源最短路径算法，又称迪杰斯特拉算法。
Dijkstra算法特点：以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止，是一种广度优先搜索方法。
Dijkstra算法原理：最优子路径存在(贪心算法的最优子结构性质)。假设S→F存在一条最短路径SF，且该路径经过点A，那么SA子路径一定是S→A的最短路径。
算法步骤
- 第一步：初始化点集 S，将起点 v 收入 S 中。初始化数组 D：D[k] = a[v][k]；
- 第二步：找寻次短路径。即查找数组 D，找出观测域中最短路径(v, j)：D[j] = min(D[k] | k 不属于 S)。将点 j 加入点集 S 中；
- 第三步：将 j 的邻接点并入观测域，即用 j 的邻接点更新数组 D；
- 第四步：不断重复第二步和第三步，直到节点全部压入 S 中为止。
注：贪心算法的思想主要就体现在第二步和第三步之中。
复杂性
最大嵌套用到双层for循环，最内层代码块可看做O(1),所以该算法的时间复杂度是O（n^2）
代码
package 贪心算法; import java.util.Scanner; public class 单源最短路径 { public static void main(String[] args) { Scanner input = new Scanner(System.in); System.out.print("请输入图的顶点和边的个数(格式：顶点个数 边个数)："); int n = input.nextInt(); //顶点的个数 int m = input.nextInt(); //边的个数 System.out.println(); int[][] a = new int[n + 1][n + 1]; //初始化邻接矩阵 for(int i = 0; i < a.length; i++) { for(int j = 0; j < a.length; j++) { a[i][j] = -1; //初始化没有边 } } System.out.println("请输入图的路径长度(格式：起点 终点 长度)："); //总共m条边 for(int i = 0; i < m; i++) { //起点，范围1到n int s = input.nextInt(); //终点，范围1到n int e = input.nextInt(); //长度 int l = input.nextInt(); if(s >= 1 && s <= n && e >= 1 && e <= n) { //无向有权图 a[s][e] = l; a[e][s] = l; } } System.out.println(); //距离数组 int[] dist = new int[n+1]; //前驱节点数组 int[] prev = new int[n+1]; int v =1 ;//顶点，从1开始 dijkstra(v, a, dist, prev); } /** * 单源最短路径算法(迪杰斯特拉算法) * @param v 顶点 * @param a 邻接矩阵表示图 * @param dist 从顶点v到每个点的距离 * @param prev 前驱节点数组 */ public static void dijkstra(int v, int[][] a, int[] dist, int[] prev) { int n = dist.length; /** * 顶点从1开始，到n结束，一共n个结点 */ if(v > 0 && v <= n) { //顶点是否放入的标志 boolean[] s = new boolean[n]; //初始化 for(int i = 1; i < n; i++) { //初始化为 v 到 i 的距离 dist[i] = a[v][i]; //初始化顶点未放入 s[i] = false; //v到i无路，i的前驱节点置空 if(dist[i] == -1) { prev[i] = 0; } else { prev[i] = v; } } //v到v的距离是0 dist[v] = 0; //顶点放入 s[v] = true; //共扫描n-2次，v到v自己不用扫 for(int i = 1; i < n - 1; i++) { int temp = Integer.MAX_VALUE; //u为下一个被放入的节点 int u = v; //这个for循环为第二步，观测域为v的观测域 //遍历所有顶点找到下一个距离最短的点 for(int j = 1; j < n; j++) { //j未放入，且v到j有路，且v到当前节点路径更小 if(!s[j] && dist[j] != -1 && dist[j] < temp) { u = j; //temp始终为最小的路径长度 temp = dist[j]; } } //将得到的下一节点放入 s[u] = true; //这个for循环为第三步，用u更新观测域 for(int k = 1; k < n; k++) { if(!s[k] && a[u][k] != -1) { int newdist=dist[u] + a[u][k]; if(newdist < dist[k] || dist[k] == -1) { dist[k] = newdist; prev[k] = u; } } } } } for(int i = 2; i < n; i++) { System.out.println(i + "节点的最短距离是：" + dist[i] + "；前驱点是：" + prev[i]); } } } /** 运行结果 请输入图的顶点和边的个数(格式：顶点个数 边个数)：5 7 请输入图的路径长度(格式：起点 终点 长度)： 1 2 4 1 4 2 2 3 4 2 4 1 3 4 1 3 5 3 4 5 7 2节点的最短距离是：3；前驱点是：4 3节点的最短距离是：3；前驱点是：4 4节点的最短距离是：2；前驱点是：1 5节点的最短距离是：6；前驱点是：3 **/