计算机中的正负数表示

在32位系统中，int类型占4个字节，一共是32个2进制位，int类型的首位是符号位，0代表正数，1代表负数，int的最大值是0x7fffffff（即除了最高的1Bit其他31位都为1），而最小值是0x80000000（除了最高1bit，其他31位都为0）。但是我有几个问题，在这里记录解答一下

关于补码
计算机中的补码是为了方便负数方便运算而设置的，因为如果直接相加，结果是不正确的，正数的补码是其自身，而负数的补码是，符号位不变，取其它位的反码，然后+1。注意，负数实际上是按照补码存储在计算机中的
举两个例子：
-5 + 6
-5 = 1101 （第一位是符号位）
-5的补码为1010 + 1 = 1011
6 = 0110
二者相加1011 + 0110 = 10001 = 0001 = 1 = （-5）+ 6结果是正确的
再看一个例子
-6 + 5
-6 = 1110 补码为 1001+1 = 1010
5 = 0101
-6 + 5 = 1010 + 0101 = 1111
这里的1111，注意显示的是负数的补码，所以要得到正确值，需要转换为原码
1111 => 1110 =>取反后得到，1001 => -1

为什么正负数的绝对值大小不一样
首先我很奇怪就是，在计算机语言中，int类型的最大值是01111111…1111(31个1)，这个很容易理解，因为0是符号位，所以int的最大值是2147483647，按照这个逻辑，那么负数的值应该为1111111…111(32个1)，第一个1是符号位，那么int的最小值不应该是-2147483647么，而实际上int的最小值是-2147483648，这是为什么呢？

为了解答这个问题，首先回到上述概念，可以发现，由于32位的int前面有一位符号位，那么如果按照之前的逻辑，那么1000000…000(31个0)和000…000(32个0)，也就是正0和负0，不是一样的么？根据我的理解，为了不让数据浪费，规定，负0作为int类型的最小值，也就是-1 * 2^31，所以int类型范围在- 2^31 到 2^31 - 1之间

Int类型的最大值加一后，会变为最小值
可以先看一个代码的例子：

int main()
{
	int a = 0x80000000;
	int b = 0x7fffffff;

	std::cout << "MinInteger: " << a << std::endl;
	std::cout << "MinInteger - 1: " << a - 1 << std::endl;

	std::cout << "MaxInteger: " << b <<std::endl;
	std::cout << "MaxInteger + 1: " << b + 1 <<std::endl;

	std::cin.get();

	return 0;
}

输出结果如下：
在这里插入图片描述
可以看到，最大值+1变为了最小值，最小值-1变为了最大值，根据上面讲的补码的知识，我们可以分析一下：
在计算机中，Max和Min对应的值分别为：

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 : Max Interger = 2^31 - 1
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000：Min Interger = - 2^31

但是实际计算时是按照补码来的，所以其补码为：

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 : Max Interger = 2^31 - 1
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000：Min Interger = - 2^31，我们发现最小值的补码与其原码相同

OK，那么我们开始计算，首先计算Max + 1：

0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 // Max
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
---------------------------------------
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

可以看到结果正好为最小值

再计算Min - 1

1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 // Min
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 // -1的补码
---------------------------------------
0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 // 最高位溢出

所以说，了解了底层补码是怎么设计的，上述问题自然就能够得到解释。

为什么这么设计
主要是基于以下几点：

将所有的数用其补码表示，可以将加减法统一用加法来处理，简化计算。
不同的位组成不同的排列组合，每一种组合都对应一个独一的数，最大化利用数据
尽量减少数据溢界时，造成的数据间断的情况

更多细节可以参考：
https://www.zhihu.com/question/30395946/answer/696377317
https://www.youtube.com/watch?v=4qH4unVtJkE

注意一点

int a = 0x80000000;
cout << a << endl;// print -2147483648
cout << 0x80000000 << endl; // print 2147483648，注意这里会默认当作比int更大的类型

计算机中的正负数表示

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