Educational Codeforces Round 65 - F - 计数

前言：

这题挺妙的。可能是我对数学计数题熟悉点，想了一会还是搞出来了。个人觉得1900左右。不能有2300的难度。

题目大意:

给你一个序列，问你每一个子数组$[L,R]$经排序之后${\sum }_{i=1}^{R-L+1}{a}_{L+i-1}\ast i$的总和.

即${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^n{\sum }_{k=i}^j{a}_k\ast (k-i)//k为子数组[i,j]经过排序后的下标$

题目思路：

直接算显然不行,考虑单点的贡献,换更方便的统计方式。老技巧了。

对于第$i$个位置，值为$a_i$.我们可以将$\le a_i$的数都标记成1.反之为0.因为小于等于$a_i$的数会让$a_i$的rank恰好上升1.那么序列大概变成了 0001101011001 这样的感觉.粗体代表$a_i$的位置。

对于经过转变后的01数组，问题转化为求所有覆盖位置$i$的子数组的区间和的总和。

直接算也显然不行，还是延续上面的老套路，我们继续考虑一个1对整体答案的贡献:$i{d}_j\ast (n-i+1)$.$i{d}_j$代表第j个1的下标位置。

那么对于$i$左侧的$1$.答案就是$\sum id\ast (n-i+1)$.然后$reverse$一下整个序列，再跑一遍算法即可。

这个过程我们发现我们需要记录一个$\le a_i$的数的下标的前缀和。显然树状数组即可。

然后就没了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define vi vector<int>
#define vll vector<ll>
const int maxn = 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
ll a[maxn];
ll sum[maxn] , n;
int lowbit(int x){
    
    return x & -x;}
void add(int x,ll c){
    
    
    while(x<=n){
    
    
        sum[x] = (sum[x] + c)%mod;
        x += lowbit(x);
    }
}
ll ask(int x){
    
    
    ll ans=0;
    while(x){
    
    
        ans=(ans + sum[x])%mod;
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
ll dist[maxn] , cnt , c[maxn];
int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
    
    
        cin >> a[i];
        dist[++cnt] = a[i];
    }
    sort(dist + 1 , dist + 1 + cnt);
    cnt = unique(dist + 1 , dist + 1 + cnt) - dist - 1;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
        a[i] = lower_bound(dist + 1 , dist + 1 + cnt , a[i]) - dist;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
    
    
        add(a[i] , i);
        ll res = ask(a[i]) * (n - i + 1) % mod;
        c[i] = (c[i] + res) % mod;
    }
    reverse(a + 1 , a + 1 + n);
    reverse(c + 1 , c + 1 + n);
    memset(sum , 0 , sizeof sum);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
    
    
        ll res = ask(a[i]) * (n - i + 1) % mod;
        c[i] = (c[i] + res) % mod;
        add(a[i] , i);
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
    
    
        c[i] = c[i] * dist[a[i]] % mod;
        ans = (ans + c[i]) % mod;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}