背包问题-01背包之滚动数组【动规五步法】
0 - 前言
本文是参考【代码随想录】大佬的【背包专题】，受益匪浅，上一个链接
1 - 滚动数组的由来
滚动数组的提出，简化了背包问题中dp数组的维度（由2维变为1维）
在 背包问题【01背包扫盲】【动规五步法】 中说到解决01背包问题的递推公式为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]])。
仔细观察，如果将dp数组的第i-1行复制到第i行，那么递推公式就可以写成dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])。因为将dp数组i-1行复制到i行的操作并不影响weight数组和value数组，所以改写后的递推公式只影响了dp数组的行索引。
再进一步，既然递推式中的dp数组行索引i此时都完全相同，完全可以用一维dp数组表示，递推式变为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
将二维dp数组上一行直接复制到下一行（即用i-1状态的一维dp数组作为i状态的一维dp数组的初值），以这种逻辑更新一维dp数组，就像拉杆的老虎机，每次都会滚动更新，这就是滚动数组字面意思的由来。
2 - 动规五步法
使用动规五步法来分析滚动数组
1、确定dp数组以及下标含义：
dp[j]表示容量为j的背包能装的最大价值
2、dp数组递推公式：
首先一维数组dp[j]只有一个更新方向，那就是从j的上一状态j-weight[i]中更新出来，更新值为dp[j-weight[i]] + value[i]。需要注意的是，dp[j]虽然只有一个更新方向，但是他是有初值的（dp[i-1][j]复制过来的初值)，因此需要在初值与更新值二者之中取最大。递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i])
3、dp数组初始化：
不同于一般的动态规划问题，滚动数组的一维dp数组不仅需要初始化刚开始的几个值，需要对所有位置都进行初始化。这是由滚动的原因造成的。因为题目中value都是正数，而递推公式每次要取最大值，所以dp[j] = 0。【代码随想录】大佬还提到，如果value存在负数，那么dp[j]就要全部初始化为负无穷。
4、dp数组遍历顺序：
因为滚动的特性，我们必须在i-1状态将所有j全部遍历完，计算完所有的dp[j]才能进入到i状态进行复制，所以我们必须先遍历背包容量j，再来遍历物品i。【代码随想录】大佬友情提醒，这里在遍历背包容量时，与二维dp数组不同，一定要进行倒序遍历，即背包容量从大到小，这样是为了保证物品i只被放入一次。
5、举例演示dp数组：
假设物品信息如下，背包容量为4
重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30
dp[j]
j 0 1 2 3 4
i
物品0： 0 15 15 15 15
物品1： 0 15 15 20 35
物品2： 0 15 15 20 35
大佬代码如下：
void test_1_wei_bag_problem() {
vector<int> weight = {
1, 3, 4};
vector<int> value = {
15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) {
// 遍历物品，实现了滚动逻辑
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
// 遍历背包容量,注意是倒序遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_1_wei_bag_problem();
}