背包问题-01背包扫盲【动规五步法】
0 - 前言
本文针对01背包问题，主要参考【代码随想录】大佬的背包九讲，上一个链接。本文中示范用例与代码取自大佬链接中。
1 - 什么是01背包
物品数量为N，每个物品的重量为weight[i]，i∈[1, N]，对应的物品价值为value[i]， i∈[1, N]，每件物品只有一件，问题是：将哪些物品放进背包后，背包中的价值总和最大？
2 - 动规五步法解决背包
1、确定dp数组与下标含义：
dp[i] [j] 表示从下标[0-i]内的物品任意取，存放进容量为j的背包后，最大价值总和是多少。也就是，行索引i用户来遍历物品，列索引j用来遍历背包容量。遍历物品能理解，那么为什么要遍历背包容量呢？这是因为需要一点点增加背包容量，直到容量为j，表明是有状态转移存在的，因此才可以用动态规划来解决。
dp[i] [j]数组形式如下：
dp[i][j]
0 1 2 3 4 5
物品0：
物品1：
物品2：
2、确定递推公式：
一般二维dp数组会从行索引与列索引两个方向上求出状态递推。
- 先来看行索引：
i的上一状态应该是i-1。在不放物品i的时候的dp[i][j]=dp[i-1][j]，表示j背包直接从[0~ i-1]内选取物品后的最大价值。dp[i][j]=dp[i-1][j]的真正含义应该是：在j背包中，不管有没有空间放weight[i]，都不放i。 - 再来看列索引：这里
j的上一状态并不是j-1，这是由背包问题的特殊场景造成的，因为行索引的情况已经将**不放i的情况解决完了，那么列索引只能解决放i**的情况，换言之，j的上一状态一定要预留出weight[i]的空间保证j背包一定能放下i。那么j的上一状态应该是什么呢？应该是j-weight[i]。所以从列索引角度，dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]就是背包中放物品i的最大价值。其中，行索引之所以不是i而是i-1，是要保证j的上一状态没有放过i。
那么递推公式显而易见了，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]])
其实不推导，直接解读递推公式的话，也是比较容易理解的。dp[i-1][j]代表：不将物品i放入背包的最大价值。dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]表示：将物品i放进背包之后的最大价值。两者之中的最大值就是dp[i][j]。
3、dp数组的初始化
二维dp数组初始化就是看两条边。
dp[i][0]：即背包容量为0的时候，此时放不进去物品，dp[i][0] = 0dp[0][j]：遍历背包容量来存放物品0，只有两种情况，放得下物品0（dp[0][j]=value[0]）和放不下（dp[0][j]=0）。
4 、确定遍历顺序
可以先遍历物品i（dp数组行索引），再遍历背包容量j（dp数组列索引）
5、举例推导dp数组
假设物品信息如下
重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30
dp[i][j]
0 1 2 3 4
物品0： 0 15 15 15 15
物品1： 0 15 15 20 35
物品2： 0 15 15 20 35
完整代码如下：
void test_2_wei_bag_problem1() {
vector<int> weight = {
1, 3, 4};
vector<int> value = {
15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 二维数组
vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
// 初始化
for (int j = 0; j <= bagWeight; ++j) {
if (weight[0] <= j)
dp[0][j] = value[0];
}
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) {
// 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
// 遍历背包容量
if (j < weight[i])
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[weight.size() - 1][bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_2_wei_bag_problem1();
}