背包九讲之01背包问题
问题描述：
问题分析：
首先，考虑无论采取怎样的选择策略，这n件商品都会产生两种且只会产生两种状态，取或不取。
先假设，物品的总量n=1，即只有一件物品，那么要想获得最大价值，分为两种情况：其一，若背包容量不小于这一件商品的重量，则取；其二，如背包容量小于这件商品的重量，则放弃（不取）。
现在，假设n=2，使用枚举所有策略的方法，可以得到共有四种策略：取1不取2，取2不取1，两者都取，两者都不取。
但是，如果n的数值比较大，很难通过枚举的形式列举所有结果，此时，可以一件一件的去考虑。从第n件物品开始，考虑物品的两种状态，其一、当取第n件商品的时候，问题简化为求解从n-1件物品中选取一定数量的物品，放入容量为v-w[n]的背包中，在不超过背包容量的前提下的最大价值，而我们要求的问题的解，就是简化后的问题的解加上第n件物品的价值；其二、当放弃第n件物品的时候，问题简化为求解从n-1件物品选取一定的数量放入容量为v的背包中，在不超过背包容量的情况下的最大价值，此时，简化后问题的解就是我们要求的最终解。
考虑完第n件，接下来依次使用同样的方式考虑第n-1件，n-2件。。。
直到考虑的最后一件，在背包已经从第二件到第n件物品中选取了一定的商品的情况下，如果背包剩余容量还可以放得下第一件物品（即我们最后考虑的物品），那我们就取，如果放不下，就放弃。
算法设计
使用f[i][v]表示，从前i件物品中选取部分物品放入容量为v的背包中的最大价值。
仔细分析不难发现，f[i][v]始终等于f[i - 1][v - w[i]] + p[i]和f[i - 1][v]的最大值，即f[i][v] = max(f[i - 1][v - w[i]] + p[i], f[i - 1][v]);
分析到这，不难得出这是一个很明显的递归问题。
此处需要注意一点：题目内没有说恰好装满背包而是说在不超过背包容量的情况下，也就是说，实际用到的背包容量可能是v，也可能是v - 1，v - 2甚至是0，所以f[i][v]有可能等于f[i][v - 1],有可能等于f[i][v - 2]……甚至是f[i][0],取决于实际情况而定，如果这n件物品的重量都大于背包总容量，那么f[i][v]就等于f[i][0];
java实现
public class Page1 {
private static int w[] = {2, 2, 2, 3, 5, 1, 3, 2, 7, 4, 2, 6};//重量
private static int p[] = {4, 4, 4, 6, 4, 1, 3, 8, 2, 1, 2, 4};//价值
private static int v = 7;
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fun(w.length - 1, v));
}
public static int fun(int i, int v){
if(i < 1){
//当i=0时，即问题分析中分析到最后一件物品时，判断背包剩余容量是否可以放得下这件物品
if(v >= w[i]){
return p[i];
}else{
return 0;
}
}else{
if(v < w[i]){
//如果当前考虑的物品的重量大于背包剩余容量，跳过直接考虑下一件
return fun(i - 1, v);
}else{
//判断当前考虑的物品取与不取
return fun(i - 1, v) > fun(i - 1, v - w[i]) + p[i]?fun(i - 1, v):fun(i - 1, v - w[i]) + p[i];
}
}
}
}
以上是我对01背包的简单理解，如有不到之处，欢迎指正。
未完待续。。。
