题解
- 我们可以发现,通过行与行(上下)交换,对列无影响,列与列(左右)交换,对行无影响 。也就是说行与列的交换是相互独立的,那么求总的交换次数最小就可以变成求行与列的最小,然后相加即可
- 那我们在求行的时候(上下)交换,就可以将每一行看成一个整体,也就是一个数,同样列也一样,这样就变成了环形纸牌均分问题(注意:这里的a指的是每一行的和)
我们只需要规定一个方向(图中逆时针),x1就表示a1给an多少个,当然x1可以是正数负数或零,负数就表示an给a1的,那么我们现在就是求|x1|+|x2|+|x3|+…+|x4|+|x5|的最小值,就是最小的交换次数
- 环形均分纸牌问题证明:
最终经过推导,我们将其转化为经典的仓库选址问题,最优解就是中位数
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
ll x[N], y[N], s[N], c[N];
ll slove(ll n, ll a[]) {
for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
if (s[n] % n) return -1;
ll avg = s[n] / n;
c[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
c[i] = s[i - 1] - (i - 1) * avg;
}
sort(c + 1, c + 1 + n);
ll res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);
return res;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
ll n, m, t;
cin >> n >> m >> t;
while (t--) {
int a, b;
cin >> a >> b;
x[a]++, y[b]++;
}
ll row = slove(n, x);
ll col = slove(m, y);
if (row != -1 && col != -1) cout << "both " << row + col << endl;
else if (row != -1) cout << "row " << row << endl;
else if (col != -1) cout << "column " << col << endl;
else cout << "impossible" << endl;
return 0;
}