【Programming Languages And Lambda calculi】4.2 Lambda演算的语法与约化

4.2 Lambda演算的语法与约化

Lambda演算中表达式的一般语法由M（或别名N和L）定义：

下述为 M 成员的例子：

第一个例子，x，没有特别的直观意义，因为x是未定义的。类似， (x y) 表示“x应用到y”，但是我们没法得知更多，因为x和y也都是未定义的。作为对比，（λx.x）表示恒等函数。前两个例子和后一个例子的区别为在前两个例子中，在表达式中的 x 是 自由 的，在后一个例子中 x 是被约束的。

在关系 FV 中，将表达式中的 自由变量 集合映射到一个表达式中。直观上， 如果x在任何 (λx.x) 之外，则它是一个自由变量。更加正式地说，我们将 FV 关系定义如下：

FV 的例子如下：

在定义一个Lambda演算表达式的约化关系之前，我们还需要一个辅助关系来处理可变替换。关系 _[_ ← _] 映射了一个原表达式，一个变量一句一个参数表达式到一个目标表达式。目标表达式和原表达式一致，除了表达式的自由实例被参数所替代了：

_[_ ← _] 的例子：

最终，定义Lambda演算的一般性约化关系 n ，我们首先定义三个简单约化关系，α, β, 和 η：

• α 关系重命名一个形参。它将类似 (λx.x) (λy.y）这种实际上相同的函数编码，并用不同的名字表示形参。
• β 关系是主约化关系，为函数应用编码。
• η 关系将，“如果一个函数 f 接收它的参数并立即应用这个参数到 g 上，则使用 f 函数和使用 g 函数是一致的”这一特性编码。

一般性约化关系 n 是上述三个关系的并集：
$$n=\alpha \cup \beta \cup \eta$$
一如往常，我们定义 →_n 为 n 的兼容闭合，→→_n 为 →_n 的自反-传递闭合，而 =_n 为 →→_n 的对称闭合。我们同时定义 →_n^α →_n^β→_n^η 作为 α, β, η 的兼容闭合关系。

注：通常兼容闭合关系被写作→_α 但是我们为了强调并集关系，用→_n^α表示。

下例为一种 ((λx.((λz.z) x)) (λx.x)) 的约化方式，下划线部分为 redex （表示被 n 关系约化的部分）：

下面是另一种约化方式：

表达式中的括号通常是多余的，并且它们会使长表达式难以阅读。因此，我们采用了一些删除括号的约定：

• 应用关联左侧： M1 M2 M3 表示 ((M1 M2) M3)
• 应用比抽象优先级高： λX.M1 M2 表示 (λX.(M1 M2))
• 连续的Lambda表达式可以被折叠： λXY Z.M 表示 (λX.(λY.(λZ.M)))

利用这些约定，((λx.((λz.z) x)) (λx.x)) 可以被缩写为 (λx.(λz.z) x) λx.x, 并且，上述的第一种约化可以简化表示为：

练习 4.1

将下述表达式用 →_n 约化，直到没有任何 →_n^b 可以约化。

• (λx.x)
• (λx.(λy.y x)) (λy.y) (λx.x x)
• (λx.(λy.y x)) (λx.x x) (λx.x x))

题解

• (λx.x) →_n (λx.x)

• (λx.(λy.y x)) (λy.y) (λx.x x)

  →_n (λy.y (λy.y)) (λx.x x)

  →_n (λy.y) (λx.x x)

  →_n (λy.y) (λy.y)

  →_n (λy.y)

• (λx.(λy.y x)) (λx.x x) (λx.x x))

  →_n (λy.y ((λx.x x) (λx.x x)))

  →_n … (no more →_n^β is possible)

练习 4.2

证明下述等式成立

• (λx.x) = (λy.y)
• (λx.(λy.(λz.z z) y) x) (λx.x x) = (λa.a ((λg.g) a)) (λb.b b)
• λy.(λx.λy.x) (y y) = λa.λb.(a a)
• (λf.λg.λx.f x (g x)) (λx.λy.x)(λx.λy.x) = λx.x

题解

• (λx.x) →_n^α (λy.y)

• (λx.(λy.(λz.z z) y) x) (λx.x x)

  →_n^η (λy.(λz.z z) y) (λx.x x)

  →_n^β (λy.y y) (λx.x x)

  (λa.a ((λg.g) a)) (λb.b b)

  →_n^β (λa.a a) (λb.b b)

  →_n^α (λy.y y) (λb.b b)

  →_n^α (λy.y y) (λx.x x)

  左右相等

• λy.(λx.λy.x) (y y)

  →_n^α λa.(λx.λy.x) (a a)

  →_n^β (λa.λy).(a a)

  →_n^β (λa.λb).(a a)

• (λf.λg.λx.f x (g x)) (λx.λy.x)(λx.λy.x)

  →_n^β (λg.λx.(λx.λy x) x (g x)) (λx.y.x)

  →_n^β (λg.λx.(λy x) x (g x)) (λx.y.x)

  →_n^β (λg.λx.x) (λx.y.x)

  →_n^β λx.x