【Programming Languages And Lambda calculi】4.4 Lambda 表达式 对值编码

4.4 对编码

实行对编码，我们需要三类操作：

• 结合两个值
• 提取第一个值的操作
• 提取第二个值的操作

话句话说，我们需要 mkpair, fst, snd 满足下述等式：
$$\begin{gathered} fst(mkpairMN){=}_{n}M \\ snd(mkpairMN){=}_{n}N \end{gathered}$$
我们也可以使用符号 ⟨M, N⟩ 作为对的缩写（第一个值为M，第二个值为N）。一种寻找 mkpair 等定义的方法是考虑一个 ⟨M, N⟩ 的值可能长什么样。

因为我们所有的值都是函数，⟨M, N⟩ 也必须是一个函数，这个函数需要包含 M 和 N 的表达式，并且，它必须又返回给用户其中一个值的方法（取决于用户需要第一个还是第二个值）。这提示了用户必须以函数的方式调用对，并且提供 true 来得到第一个值，提供 false 来得到第二个值：
$$⟨M,N⟩\doteq \lambda s.ifsMN$$
前一小节说过，if 函数并不是必要的，所以上述函数可以通过丢弃 if 简化。

这样编码， fst 函数接收对值，并且应用其作为 true的参数。
$$fst\doteq \lambda p.ptrue$$
类似地， snd 应用对值作为false的参数。最终，为了定义 mkpair，我们将 ⟨M, N⟩ 抽象缩写成任意 M 与 N。

练习 4.5

证明上述的 mkpair，fst 和 snd 满足此小节开头的等式。

题解

• fst (mkpair M N) = (λp.p true) ((λx.λy.λs.s x y) M N)

  →_n^β ((λx.λy.λs.s x y) M N) true

  →_n^β (λy.λs.s M y) N) true

  →_n^β (λs.s M N) true

  →_n^β true M N = (λx.λy.x) M N

  →_n^β (λ.M) N

  →_n^β M

• snd (mkpair M N) = (λp.p false) ((λx.λy.λs.s x y) M N)

  →_n^β ((λx.λy.λs.s x y) M N) false

  →_n^β (λy.λs.s M y) N) false

  →_n^β (λs.s M N) false

  →_n^β false M N = (λx.λy.y) M N

  →_n^β (λy.y) N

  →_n^β N