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章节2 结构归纳法
上一章定义的r关系是一个函数，但我们如何证明？这里有一个半正式的证明：
r关系由一对约束定义。第一个约束为以 f 开头的•表达式，结果由表达式的右侧部分唯一确定。第二个约束为以 f 开头的•表达式，结果被唯一确定为 t 。因为一个表达式仅可以以f或者t开头，所以只有一个约束会被应用，因此结果也是唯一的。
上述的论点是相当有说服力的，因为它以来于一个表达式直接可观察的性质：这个表达式由 f 还是 t 开头。其他关于 B 的关系可能不那么容易证明。例如，我们并不显而易见地发现 evalr 是一个函数。其根本原因是因为B是递归定义的，并没有能够直接列举所有有趣的案例的方法。所以，为了证明更加一般的论点，我们必须使用 归纳法 。
数学归纳法是以自然数为基础的。通常的证明过程为：
- 证明当 n = 0（1） 时成立。
- 假设 n = m 时成立，那么可以推导出在 n = m + 1 时论点也成立。
在大多数情况下，在我们将要考虑的证明中，并没有为集合元素提供肉眼可见的自然数 n，但是在论证一个表达式属于某个集合的过程中，可以基于论证的步骤数为表达式派生出我们所需要的自然数 n。
抛开为数学归纳法反复寻找合适的自然数的过程，我们将会使用 结构归纳法 ，它直接作用于语法定义的集合元素，其基本原理与数学归纳法一致。
2.1 结构归纳法的要素
结构归纳法应用在证明一个没有递归定义的集合时。只有在定义中由原子元素时，集合才是充分定义的。这些元素构成归纳证明的基本要素。 而定义中的自指（递归）元素则是归纳要素。
举例来说，我们有如下定义：
定义中 P 的成员包括 α, (β ⊗ α), (α O･ α) 和 ((β ⊗ (β ⊗ α)) O･ (β ⊗ α))。有关P的元素，现在有一个论证为：
定理 2.1： 对于任意P， P包含相等数量的 β 和 ⊗
这个定理的真假很明显。但由于定理2.1做了有关P所有可能的断言，并且P是递归定义的，所以它必须用结构归纳法所证明。
指南： 如果一个论点包含了一个递归定义集合的所有元素，则需要用到结构归纳法。
一个正确构造的归纳证明的关键是它能保证覆盖整个集合。例如上述的P集合，这里有一个例子来例证定理2.1
定理 2.1 的一个证明：
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基本要素：
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要素α
α 包含 0 个 β 以及 0 个 ⊗，所以论证成立
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归纳要素：
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要素 (β⊗P)
在递归中，由于 P 是 (β⊗P) 的子结构，P 包含了相同数量（n）的 β 和 ⊗。因此，(β⊗P) 包含n+1个 β 和 ⊗，论证仍然成立
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要素 (P1 O･ P2)
在递归中， P1包含了相同数量（n1）的 β 和 ⊗，P2同样包含了相同数量（n2）的 β 和 ⊗，因此，P1 O･ P2 包含了n1+n2个 β 和 ⊗，论证仍然成立
-
上述的证明拥有一个规范的形式。 在导言中，“通过归纳P的结构” 封装了一个样板论证，其运行方式如下：
- 论证必须对于任意P成立。因此，假设提供了一个任意的P元素。如果P具有基本要素（即其中没有自指），我们证明如何根据基本要素立即推断论证。如果P为归纳要素（有自指），则依赖归纳法，假设P中子结构的论证成立，然后推导出论证。根据结构归纳法的原理，该论证适用于任意的P（即论证成立）。
定理2.1的证明中包含了单个基本要素，因为P的定义中只包含了一个基本要素。证明包含了两个归纳要素，因为P的定义中包含了两个自指定义。
指南：对于一个结构归纳证明的标准格式，基本要素部分应为集合定义中的每一个基本要素都提供证明。同样，归纳要素部分，应为集合定义中的每一个归纳要素都提供证明。
结构归纳证明的标准格式对证明者和阅读者都起着指导作用。证明者为各个要素逐一展开论证，而阅读者则可以快速检查整个证明过程是否标准，并且可以集中精力分别检查每个要素证明的正确性。
有时，在基本要素或者归纳要素部分中，分割要素使用的是结构归纳法以外的标准，这种分割方法仅仅区分深层嵌套的要素，因此是可以接受的。一个不标准的要素分割必须以明显的方式囊括所有的要素。
所有证明（包括定理 2.1）都有如下的格式：
证明中的细节决定于论证。下述的论证也是囊括所有P元素，因此具有上述相同的格式。
定理 2.2 对于任意P，P包含至少一个 α
练习 2.2
证明定理 2.2
题解
证明如下
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基本要素：
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要素α
α 包含 1 个 α，论证成立
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归纳要素：
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要素 (β⊗P)
在递归中，P 包含至少一个 α，因此 (β⊗P) 包含至少一个 α，论证仍然成立
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要素 (P1 O･ P2)
在递归中， P1 包含至少一个 α， P2 也包含至少一个 α，论证仍然成立
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证毕。