复杂截面的形心和惯性矩如何计算（萌新求教）

复杂截面的形心和惯性矩如何计算（萌新求教）

教程博文

一、形心的计算

1. 看图
   

由图可得：
矩形 1 的长为 a1，宽为 b1，黑点为矩形 1 的形心位置
矩形 2 的长为 a2，宽为 b2，黑点为矩形 2 的形心位置
x-x，y-y 为其形心轴，y-y 位置已知（图形关于 y 轴对称），x-x 未知（需要计算）。

2. 定基准
   
   将基准线定在矩形 1 的上边沿上，因此，可以得到矩形 1 的形心离基准线的距离为 t1 ，而矩形 2 离基准线的距离为 t2。
3. 计算形心位置
   $$x-x轴离基准线的距离=\frac{a_1\cdot b_1\cdot t_1+a_2\cdot b_2\cdot t_2}{a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2}$$

二、惯性矩的计算

1. 过形心
   
   $I_x=\frac{b{h}^3}{12}$

2. 不过形心但过自身
   
   $I_x=\frac{b{h}^3}{12}+a^{2}bh$

3. 不过形心且不过自身
   
   $I_x=a^{2}bh$

三、练习

1. 题目
   
   矩形 1 的长为 197.6 mm，宽为 5.6 mm
   矩形 2 的长为 300 mm， 宽为 5.6 mm
   矩形 3 的长为 197.6 mm， 宽为 5.6 mm
   黑点分别为它们的形心位置，x-x 轴已知，y-y 轴未知位置（需求）
   以矩形 2 的左边沿为基准线

2. 求此复杂截面的形心
   $$\Delta x=\frac{2\times 197.6\times 5.6\times \frac{197.6}{2}+5.6\times 300\times \frac{5.6}{2}}{2\times 197.6\times 5.6+5.6\times 300}=57.37mm$$

3. 求此复杂截面的惯性矩
   
   ① 对 x - x 轴（x-x 轴在矩形1下方，穿过矩形 2 的形心，在矩形 3 的上方）
   
   $I_{x1}=(150+2.8{)}^2\times 5.6\times 197.6$
   $I_{x2}=\frac{5.6\times 300^3}{12}$
   $I_{x3}=(150+2.8{)}^2\times 5.6\times 197.6$
   
   $I_x=I_{x1}+I_{x2}+I_{x3}=6.43\times 10^{7}m{m}^4$
   
   
   ① 对 y - y 轴（y-y 轴穿过矩形 1 但不过形心，在矩形 2 的右侧，穿过矩形 3 但不过形心）
   
   $I_{y1}=\frac{5.6\times 197.6^3}{12}+(57.37-\frac{197.6}{2}{)}^2\times 5.6\times 197.6$
   $I_{y2}=(57.37-2.8{)}^2\times 5.6\times 300$
   $I_{y3}=\frac{5.6\times 197.6^3}{12}+(57.37-\frac{197.6}{2}{)}^2\times 5.6\times 197.6$
   
   $I_y=I_{y1}+I_{y2}+I_{y3}=8.03\times 10^{7}m{m}^4$

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Fin.