什么叫图像或轮廓的空间矩、中心矩、归一化中心矩？并利用OpenCV的类Moments计算轮廓的这几个矩和质心位置

矩(moments)是描述图像特征的算子，被广泛应用于图像检索和识别，以及图像匹配、图像重建、图像压缩及运动图像分析等领域。

接下来介绍图像矩的原理。

在物理上，有个概念叫“力矩”，相信大家都有印象。力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关，矩心的位置不同，力矩随之不同。

借助于物理学上的这个概念，我们可以定义图像的矩。图像的矩有很多种，接下来介绍几个常用的图像矩并利用OpenCV的类Moments计算轮廓的这几个矩和质心位置。

一、图像空间矩【spatial moments】

我们先来看图像空间矩【spatial moments】的概念
这里插一句题外话，有些资料把空间矩也称为叫几何矩，博主觉得叫几何矩不准确，因为几何矩是几何图形的矩，而几何图形是不考虑每一点的像素值大小的。

图像空间矩【spatial moments】的计算公式如下：

其中，$array(x,y)$是像素(x,y)处的像素值。
注意：x代表的是像素的列号，而不是行号；y代表的是像素的行号，而不是列号。这一点可以在下面的示例代码的运行结果中看出。这也是为什么上面m的下标不是“$ij$”而是“$ji$”的原因。

从这个计算式我们可以看出，图像的空间矩不仅与像素值大小有关，还与像素的位置有关，这一点和物理学中力矩的概念是一致的。

当$j=i=0$时，有$m_{00}={\sum }_{x,y}array(x,y)x^0{y}^0={\sum }_{x,y}array(x,y)$

此时$m_{00}$称为叫图像的零阶空间矩，从这个计算式我们可以看出，图像的零阶空间矩实际上就是所有像素值的累加，零阶矩的值与像素的位置无关。

当$j=0,i=1$或$j=1,i=0$时，$m_{01}$、$m_{10}$称为图像的一阶空间矩，很明显，图像的一阶空间矩在空间位置上只与像素的行号或列号有关。以此类推，可以有图像的二阶空间矩，三阶空间矩等。比如以下三种情况都是图像的二阶空间矩：
① j=0，i=2，即$m_{02}$
② j=1，i=1，即$m_{11}$
③ j=2，i=0，即$m_{20}$

根据图像的零阶空间矩和一阶空间矩，我们可以定义出图像的质心的坐标计算式：

$\bar{x}=\frac{m_{10}}{m_{00}}$，$\bar{y}=\frac{m_{01}}{m_{00}}$ 注意，$\bar{x}$是列号，$\bar{y}$是行号。

二、图像的中心矩【central moments】

图像的中心矩的计算式如下：

式中的$\bar{x}$和$\bar{y}$就是图像的质心位置坐标(上边已经介绍过了)，即：

$\bar{x}=\frac{m_{10}}{m_{00}}$，$\bar{y}=\frac{m_{01}}{m_{00}}$ 注意，$\bar{x}$是列号，$\bar{y}$是行号。

根据上面的计算式，容易得到：
  

三、图像归一化的中心矩【normalized central moments】

图像归一化的中心矩的计算式如下：

根据上面的计算式容易得到：
$n{u}_{00}=1$  $n{u}_{10}=n{u}_{01}=0$

四、利用OpenCV的类Moments计算图像或点集(轮廓)的空间矩、中心矩和归一化的中心矩

OpenCV提供了类Moments来计算图像或点集(轮廓)的空间矩、中心矩和归一化的中心矩。
下面介绍这个类Moments。
先说类Moments的成员函数moments()，这个成员函数的原型如下：

Moments cv::moments	(	InputArray 	array,
						bool 	binaryImage = false 
					)	

成员函数moments()用于计算多边形或像素图像的三阶(包含三阶)以下的空间矩、中心矩和归一化的中心矩。官方文档原话如下：
“Calculates all of the moments up to the third order of a polygon or rasterized shape.”
其参数意义如下：
array—Raster image (single-channel, 8-bit or floating-point 2D array) or an array ( 1×N or N×1 ) of 2D points (Point or Point2f )。
binaryImage—If it is true, all non-zero image pixels are treated as 1’s. The parameter is used for images only.
以上英文很简单，就不翻译了，不明白的再加博主的微信/QQ 2487872782交流吧。
再说类Moments的成员变量，它的成员变量和表示的意义分别如下：


注意：由于
 
所以上面的中心矩没有$m{u}_{00}$、$m{u}_{01}$、$m{u}_{10}$这几个。

注意：由于$n{u}_{00}=1$  $n{u}_{10}=n{u}_{01}=0$

所以上面的归一化中心矩没有$n{u}_{00}$、$n{u}_{10}$、$n{u}_{01}$这几个。

接下来是使用类Moments计算图像轮廓的空间矩、质心位置、中心矩、归一化中心矩的示例代码。
代码中用到的图像下载链接：https://pan.baidu.com/s/1ZfOReFRyeMDLhk3PjJXGwA?pwd=aes8

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//OpenCV版本：3.0
//VS版本：2013

#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include<opencv2/imgcodecs/imgcodecs.hpp>
#include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>

#include <iostream>

using namespace cv;
using namespace std;

int main()
{
    
    
	Mat srcGary = imread("F:/material/images/P0045-ellipse-02.jpg", 0);
	imshow("srcGary", srcGary);

	// 阈值化操作
	Mat threMat;
	int thresh = 128;
	threshold(srcGary, threMat, thresh, 255, THRESH_BINARY);


	vector<vector<Point>> contours;

	// find Contours
	findContours(threMat, contours, CV_RETR_EXTERNAL, CV_CHAIN_APPROX_NONE);
	cout << "检测到的轮廓个数为:" << (int)contours.size() << endl << endl;

	// draw Contours
	Mat contours_img(srcGary.size(), CV_8U, Scalar(0));
	drawContours(contours_img, contours, -1, Scalar(255), 1);
	imshow("contours_img", contours_img);

	//计算质心位置
	Moments moments_1 = moments(contours[0]);
	double moments_1_m00 = moments_1.m00;
	cout << "空间矩m00的值为:" << moments_1_m00 << endl << endl;
	double moments_1_m10 = moments_1.m10;
	cout << "空间矩m10的值为:" << moments_1_m10 << endl << endl;
	double moments_1_m01 = moments_1.m01;
	cout << "空间矩m01的值为:" << moments_1_m01 << endl << endl;

	int cx = moments_1_m10 / moments_1_m00;
	cout << "质心的列号为(横坐标-x坐标):" << cx << endl << endl;
	int cy = moments_1_m01 / moments_1_m00;
	cout << "质心的行号为(列坐标-y坐标)::" << cy << endl << endl;

	//用绿色的实心圆把质心绘制出来
	Point center_point = Point(cx, cy);
	Mat result_img = srcGary.clone();
	cvtColor(result_img, result_img, CV_GRAY2BGR);
	circle(result_img, center_point, 5, Scalar(0, 220, 0), CV_FILLED, CV_AA, 0);
	imshow("result_img", result_img);

	double moments_1_mu11 = moments_1.mu11;
	cout << "中心矩mu11的值为:" << moments_1_mu11 << endl << endl;

	double moments_1_nu11 = moments_1.nu11;
	cout << "归一化的中心矩nu11的值为:" << moments_1_nu11 << endl << endl;

	waitKey();
	return(0);
}

运行结果如下图所示：




下一篇博文，介绍下Hu矩，Hu矩是由二阶和三阶中心距计算得到七个不变矩，Hu矩具有旋转、平移和缩放不变性，因此在图像具有旋转和放缩的情况下Hu矩具有更广泛的应用领域。
关于Hu矩，等写好后再把链接放到这里吧。
博主2022-05-12 18:29:35注：已经写好了介绍Hu矩的博文，链接如下：
图像或轮廓的Hu矩的定义、优缺点、适用范围,并利用OpenCV的函数HuMoments()和matchShapes()实现Hu矩的计算和轮廓匹配